例析解題中“草圖”的生成過程

在數(shù)學(xué)語言表達(dá)中，常見的有文字語言，符號語言和圖形語言，實現(xiàn)各種語言之間的相互轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維能力的一種體現(xiàn).由于圖形語言的直觀性，在解題過程中，我們常常根據(jù)已知條件中的文字、符號的表達(dá)作出相應(yīng)的圖形——“草圖”.結(jié)合草圖，進(jìn)行審題和解題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在集合，函數(shù)，向量，幾何等知識中經(jīng)常遇見.

作草圖是解題的重要輔助手段，生成一個草圖的前提就是要符合命題描述的條件和邏輯關(guān)系.如作4個集合關(guān)系的venn圖：

圖0-1雖然較為美觀，卻缺少只屬于集合A和集合D的區(qū)域與只屬于集合B和集合C的區(qū)域，而圖0-2雖然看上去不美觀，但是卻可以成為一個正確的草圖.

以下通過對典例的分析，讓我們一起來領(lǐng)略草圖的生成過程和魅力，體會它在解題過程中給我們的幫助和美的感受.

三個圖形都可以作為該題的草圖，圖1-1與1-2可以看作是特殊取圖，通過圖1-3（鈍角三角形同理），我們才能看清問題的本質(zhì).

可見作草圖時只要滿足命題的條件要求，當(dāng)草圖比較特殊化時，有利于我們分析問題，但是有時候這樣的求解并不能幫助我們看清問題的本質(zhì)，甚至?xí)玫狡娴慕獯?

由此可見，在解題過程中，一個正確草圖的生成并不都是一蹴而就，對題目的分析推導(dǎo)過程，也是草圖不斷修正和完善的過程.

總之，草圖也是通過邏輯推導(dǎo)和分析所作出的圖像，包含了已知條件的信息，由此我們可以“看圖審題”，“借圖解題”，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.而作為數(shù)形結(jié)合的更高境界，甚至可以達(dá)到“以圖證題”，用圖像來闡述命題的幾何背景.試想在證明一個數(shù)學(xué)命題時，比起大段大段的文字來，如若一張簡單的圖片就能說明問題，豈不更讓人驚艷.讀者是否還記得人教A版高中數(shù)學(xué)必修5封面的“趙爽弦圖”，作為勾股定理的證明圖形之一，它已被很多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人所熟識.此時我們已經(jīng)不能再用草圖來看待它，因為在證明中，每個圖形的構(gòu)造總是那么嚴(yán)謹(jǐn)和富有想象力.