一道伊朗國家選拔不等式試題的再探究

在文[5]的基礎上，本文進一步將式②中λ的取值條件弱化為λ≥5 3.在證明過程中，筆者發現文[1-2]的固定變量的證法及文[3-5]采用的柯西不等式放縮法已不適用于證明λ≥5 3的情形，下面筆者將利用SOS（sum of square）分拆法給出式②弱化條件后的一個證明.

證明 首先證明當λ=5 3時式②成立.

借助于楊路教授開發的不等式證明器bottema[6]可驗證式②中λ的最優下界為8 5，同樣可利用SOS分拆法給出其證明，只是過程將變得更加復雜，此處不再詳述.

需要提到的是，SOS分拆法是證明三元對稱不等式常用的、有效的方法，鑒于其在證明中的突出表現，筆者率先在maple平臺上利用待定系數法編程實現了該方法[7][8].另外，本文在證明中使用到的代換axyc=++，byc=+，（0）cc x y=≥，稱為差分代換[9]，此類代換在證明三元不等式乃至多元高次不等式時均效果顯著.

參考文獻

[1]侯典峰.一道伊朗國家選拔考試題的證明.數學通訊（下），2010（3）：62-63

[2]嚴澤芬，厲倩.一道伊朗國家選拔考試題的推廣.中學數學研究，2010（10）：46

[3]王建榮，方明.一道伊朗國家選拔考試題的推廣.數學通訊（下），

2010（8）：61

[4]范花妹，秦慶雄.一道伊朗國家選拔考試題的再推廣.數學通訊（下），2010（12）：56-57

[5]安振平，王峰.常數化參 凸顯一般——一道伊朗國家選拔賽不等式題的推廣.中學數學，2013（5）：79

[6]楊路，夏壁燦.不等式機器證明與自動發現.北京：科學出版社，2008：117-142

[7]何燈.3元n次對稱多項式的平方型分拆及其他.佛山科學技術學院學報，2010，28（4）：51-57

[8]何燈.一類三元對稱分式的平方型分拆及其程序實現.汕頭大學學報，2011，26（1）：35-42

[9]楊路.差分代換與不等式機器證明.廣州大學學報，2006，5（2）：1-7