2013年江西省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第六題的多視角求解

該類型題是數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類求值域的類型，能從導(dǎo)數(shù)、換元、不等式、線性規(guī)劃、向量等不同視角加以解決，同時也能很好體現(xiàn)化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，是高中復(fù)習(xí)過程中一題多解和加強知識間聯(lián)系的一個好題.

視角1 借助導(dǎo)數(shù)工具，通過研究函數(shù)的單調(diào)性求的值域

故函數(shù)f（ x ）=3x？6+3？x的值域是[1， 2].

點評 導(dǎo)數(shù)是高中階段研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的有力工具，也是高考和競賽考查的基本知識和方法之一.

視角2 通過三角代換，轉(zhuǎn)化為常見的三角函數(shù)有關(guān)的求值域問題

點評 借助三角函數(shù)平方關(guān)系代換，轉(zhuǎn)化為含三角函數(shù)的二次函數(shù)的值域問題.

點評 通過二元代換，構(gòu)造基本不等式的形式，特別注意等號成立的條件.本題若考慮柯西不等式求最大值容易，但最小值則比較困難.

視角5 構(gòu)造向量，借助向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)求得值域

視角6 引入復(fù)數(shù)，借助復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求解函數(shù)的值域

記復(fù)數(shù)Z的實部與虛部分別為Re（ ）Z和Im（ ）Z，容易有以下兩性質(zhì)：

性質(zhì)1 | Re（ ）| +| Im（ ）|ZZ|Z |≥，當(dāng)且僅當(dāng)Re（ ）Z？ Im（ ）0Z =時取“=”號.

性質(zhì)2 | Re（ ）|Z|Z |≤，當(dāng)且僅當(dāng)Im（ ）0Z =時取“=”號.

解法7 函數(shù)（ ）363f xxx=？+？的定義域為[2 3]，.

①設(shè)363iZxx=？+？，

則| Re（ ）| = 36Zx？，| Im（ ）| = 3Zx？，

由性質(zhì)1知363231xxx？+？≥？≥

（當(dāng)且僅當(dāng)2X =時取“=”號）