例析運用間接法求解排列組合應用題

對于排列組合中的應用題，一般都有兩個方向的列式途徑：一個是正面考慮，采用的是直接法，這也是大部分情況下采用的方法，另一種是間接法，就是先不考慮元素的約束條件，把所有的排列和組合數計算出來，再剔除不符合限制條件的情況，從而間接求出滿足條件的結果，也稱排除法.很多排列組合問題都有直接法和間接法兩條思路.本文對間接法的應用情況簡要分析，權當拋磚引玉.

1 正面復雜，對立面相對簡單

某些排列組合問題的正面情況比較復雜，難以分清，或者計算繁瑣，運算量大，但其對立面或反面的情況比較簡單，易于處理，可以優先考慮間接法.這也就是通常所說的“正難則反”.先擷取一個簡單的例子.

例1 從4名男生和5名女生中選出3人參加學校合唱團，至少有1名男生的選法有多少種？

解析 本題采用直接法易犯這樣一個錯誤：工廠甲先派一個班，有3種方法，剩下的2個班均有4種選擇，所以共有3 4 448××=種分配方案.這里面蘊含著重復計算的錯誤，且這種重復的引入往往比較隱蔽，不易察覺，而且很難排除.例如“A班先去甲廠，之后B班也去了甲廠”與“B班先去甲廠，之后A班也去了甲廠”是同一種情況.注意到“工廠甲必須有班級去”的對立面就是“工廠甲沒有班級去”，所以先計算3個班自由選擇工廠的總數，再去除工廠甲沒有班級去的分配數，應是一個非常清晰和自然的思路.本題答案是4 4 4 3 3 337××？××=種.

2 問題中包含同一性的情況

某些排列組合問題中，存在一些形式不同而實質同一的對象，這些對象只需要保留一個，常常考慮用間接法，把多余的一一排除.

例5 空間有12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，則這12個點最多可確定多少個不同的平面？

3 “不符合條件”的情況相對簡便

排列組合的應用題種類紛繁，抽象性較強，常常需要用到分類討論的方法，即根據對象的本質和屬性，將其區分為不同種類，然后逐類進行研究，但在有些情況下，尋求“不符合條件的類”要比“符合條件的類”簡便得多，此時用間接法顯可以降低思維難度，簡化解題過程.

例9 某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共6節課，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，那有多少種不同的排課方法？

例10 有兩排座位，前排11個座位，后排12個，現安排2人就座，規定前排中間的3個位置不能坐，且這2個人不左右相鄰，那么不同的排法數有多少？

例13 有8張卡片分別標有1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為5，則有多少種不同的排法？

間接法是求解排列組合最重要的方法之一，在解題中有較強的優越性.學生在平時的學習中，應有意識地加強這方面的訓練，除了用直接法解題之外，不妨考慮是否可以利用間接法，達到殊途同歸的目的.