拉格朗日(Lagrange)中值定理應用的分類剖析

高中階段函數的切線斜率與割線斜率的關系是一個常見問題，我們知道，拉格朗日中值定理是微分學中一個非常重要的基本定理，在教學中發現，不少高中老師和學生會自覺不自覺地應用格朗日中值定理（逆定理）去解切線斜率與割線斜率的關系的問題，但由于對拉格朗日中值定理（逆定理）理解上的不到位，常犯一些科學性的錯誤.本文就這一問題作些探究.

1 拉格朗日中值定理及其逆定理

推論1 若函數f（ x ）滿足以下條件：（1）在閉區間[a， b]上連續，（2）在開區間（a， b）上可導，（3）在閉區間[a， b]上有拐點，則“定理2”在區間[a， b]被拐點分成的每個小區間上成立.（ 定理2及推論1的證明見文獻[1]）

從以上的定理1、2及推論1可以得到對高中數學解題非常好用的一個推論2.

推論2 若函數f（ x ）滿足以下條件：（1）在閉區間[a， b]上連續，（2）在開區間（a， b）上可導，記函數f（ x ）在[a， b]（或[a， b），（a， b]，（a， b））內所有割線的斜率取值范圍為集合A，記函數f（ x ）在（a， b）內所有切線的斜率取值范圍為集合B，則A？B，當且僅當函數f（ x ）在（a， b）內沒有拐點時A= B.

但由于高中階段知識的局限性，解答中不推薦學生用“中值定理”“拐點”等知識解題.可用“構造函數法”來解：

反思 ①由以上分析不難發現，若能正確理解拉格朗日中值定理及逆定理，解此類題的選填題時用此定理解題優勢明顯，并且筆者發現許多函數無論定義在開、閉、半開閉區間上的割線斜率的取值范圍都只能是開區間.不過至今還沒給出證明，也舉不出反例.②由于高中階段學生所學知識的局限性，在高中階段再對學生補充拐點等知識加重了學生學習負擔，不切實際.因此，解此等類題的解答題時用構造函數法較為妥當.③建議出題者在出此等類型題時要避開簡單的用拉格朗日中值定理把切割線“隨意等價”替代后也能得到正確答案的題目，如上述中把例2、例4中的“=”去掉，若再用拉格朗日中值定理把切割線“隨意等價”替代，那就無法得到正確答案，給一線教師評卷帶來極大的方便.

參考文獻

[1]陳建威.關于拉格朗日（Lagrange）中值定理的逆定理問題.紅河學院學報，1986（3）：133-138

[2]陳天明，李云杰.基于考試的數形結合思想研究.福建中學數學，2012（5）：-7