求一類最值問題的一般方法淺談

摘要

先看兩個例子及解答：

>的最

（2）如圖所示，求弓形ACB內接矩形的面積的最大值.當弓形恰為半圓時，其內接矩形的面積的最大值為多少？

回顧

福建省初等數學研究會要在永春、石獅開年會，征集論文，那時我不太清楚什么是初等數學研究，只覺得應該是用初等的方法研究數學問題.我在不等式的教學中，發現有一類問題，如果用高等數學知識去解題，相對容易解決，而用初等數學方法去解，就需要一定的技巧.在這類問題的教學時，我和學生一起用中學所學的數學知識嘗試解決這類問題.我們發現，這類問題，可以運用均值不等式取得最大值或最小值的條件，去尋找待定的正整數，進一步解決問題.我原稿的標題是《求一類最值問題的“待定正整數”法》，后來編輯將標題改為《求一類最值問題的一般方法淺談》發表.

凝思

在數學發展的歷史長河中，初等數學曾經發揮過不可估量的作用.一方面，它自身有著豐富的內容，形成了完整、系統的理論，在數學史上有過光輝的一頁.另一方面，它是現代數學的基石，是走向現代數學的階梯，許多現代數學分支都由此發端.

當年我沒有搞清“初等數學”的定義，今天總要稿清楚了吧？于是我找來一些與初等數學有關的書查閱，看看是怎么定義的？如趙慈庚的《初等數學研究》，無定義，只說“初等數學研究是北師大本世紀（20世紀）20年代創立的一門進修課程”；又如沈文選主編的《初等數學研究教程》，總算找到了“什么是初等數學”？答案是：嚴格地說，這個問題沒有確定的答案，至少是沒有滿意的確定答案，我們只能給出部分解釋.再如鐘善基主編的《初等數學概論》，該書在前言中明說道：事實上，就數學的科學知識系統來說，很難對中學數學課程中的某些內容作出“初等”或“高等”的劃分.

我心有不甘，索性上百度百科和搜搜百科查查“初等數學”，結果兩個“百科”對“初等數學”給出了完全一致的答案：在牛頓和萊布尼茨創立微積分和把它嚴格在極限理論基礎上之前，數學的研究方法都沒有極限這個概念.可以模糊地說初等數學是用高技巧和樸素的方法研究數學，而沒包括極限思想.說是模糊，乃是因為我們不可能給它下一個精確的定義，也沒有這個必要.

展望

我國初等數學研究十分活躍，前不久在廈門雙十中學舉辦的全國第八屆、福建省第九屆初等數學教育教學暨初等數學研究學術研討會，就來了張景中院士、單墫教授、羅增儒教授和楊學枝理事長，吳康常務副理事長，周春荔顧問、楊世明顧問、汪江松顧問、沈文選、副理事長劉培杰 （哈工大出版社，副編審） 、曹一鳴（北師大，教授）、王光明（天津師大，教授）、沈自飛（浙江師大，教授）、陳清華（福建師大，教授）、李建泉（天津師大，副教授）、蕭振綱（湖南理工學院，教授）、龍開奮（廣西師大，教授）、孫文彩（深圳平岡中學，高級教師）、江嘉秋秘書長等.可謂精英集萃，群賢畢至.

注意到全國是第八屆研討會，而我們福建省是第九屆研討會，足見福建省的初等數學研究起步早、成果多、極活躍，這和領軍人物楊學枝老師的執著堅守、勤奮工作、精心研究是分不開的.楊老師功不可沒！

直到今天，研究初等數學仍然是許多數學家和數學教育家共同關心的一大課題.他們所關心的主要由兩個方面：一是繼續搜尋初等數學的新結論，為初等數學的理論寶庫增添新的財富；二是闡發現代數學與初等數學的聯系，為現代數學的發展提供深刻的背景.當然，要在初等數學研究中真正有所發現，確非易事.這不但對初等數學要有深入的理解，而且對現代數學也要有深厚的功力.也就是說，只有站在更高的層次，用現代的觀點來研究初等數學，才能發前人之所未發，取得實質性的成果.

初數研究幾多難？李矗詩曰：“初數研究幾多難，世人笑癡冷眼看.無名無份無銅板，六月飄雪六月寒.初數研究幾多難，橫亙千壑萬重山.天涯踏遍無覓處，驀然回首又景觀.初數研究幾多難，偷得夜半挑燈戰.點石成金皆神奇，殫精竭慮情何堪.初數研究幾多難，竟有勇士敢登攀.無怨無悔無畏懼，霧里看花亦嬋娟.”

初數研究，雖曰艱難，但我堅信：迷人的數學仍會令無數“心有初數”之士“駐足興嘆”、“流連忘返”.