一道科索沃奧賽題引發的思考

問題 （2011年科索沃數學奧林匹克競賽試題）設ABCΔ的三邊分別為a b c，，，記ABCΔ得面積為S，則2224 3abcS++≥...（1）

上述不等式也曾經作為第三屆國際中學生數學競賽試題，應該說它是數學中的一道經典不等式，對于該不等式，代數證明方法有多種，但都基本上都是難以入手、計算量大，對學生的分析能力、計算能力都要求較高.本文為筆者對該不等式作的一些探討，得到一種更為簡潔的幾何證法，同時得到與上述不等式相關的一個不等式鏈，與讀者分享.

1 幾何簡潔證明

故a2+b2+c2≥4 3S.

其中等號成立當且僅當A與A′重合.即證.

注 抓住不等式中等號成立的“關鍵”時刻，巧妙地通過分析一般時刻與關鍵時刻的異同，從而使得待證不等式通過幾何關系、代數運算得以體現！

2 不等式探源

故結論成立.

注 結論中若令r=a，s=b，t=c，則（*）式中不等式即為a2+b2+c2≥4 3S.故（*）式中不等式可看成是上述科索沃奧賽不等式的一個推廣.

參考文獻

[1]安振平.涉及兩個三角形角元的一個不等式.不等式研究通訊，2012（6）：72