三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理在解題中的應(yīng)用

在近年的高考題中，以三角形內(nèi)角平分線為條件的題目常有出現(xiàn)，主要以橢圓（或雙曲線）的焦點三角形為背景.（通常我們將以橢圓（或雙曲線）上一點P以及兩焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形F1PF2稱為橢圓（或雙曲線）的焦點三角形）.華南師范大學(xué)蔡潤芳老師在文[1]中探究了圓錐曲線焦點三角形頂角平分線的性質(zhì)，得到了兩個漂亮結(jié)果.本文對其中一個結(jié)論將以三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理來證明，使得證明中的計算得到簡化，通過例題介紹角平分線性質(zhì)定理在解題中的應(yīng)用.

1 背景介紹

推論2設(shè)雙曲線的焦點三角形的頂角P的平分線與雙曲線在點P的切線重合.

文[1]是利用角平分線性質(zhì)（角平分線上點到角的兩邊距離相等）證明定理2的（類似可以證明定理1），下面介紹用內(nèi)角平分線性質(zhì)定理證明定理1（定理2的證明是類似的）.

注 本題主要考查橢圓方程和橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，總體難度不大.第2問可以直接通過直線PQ方程和橢圓方程聯(lián)立求解，而通過定理1則從幾何方面揭示了該題的背景.

注 本題考查橢圓方程、直線方程、三角形內(nèi)角的角平分線、直線與橢圓的位置關(guān)系、兩點連線的斜率公式等基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)方法，意在考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法和考查學(xué)生的運算求解能力，邏輯推理能力及綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.本題常規(guī)解法涉及的計算量很大，而從三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理求解可以看出計算量大為降低，能節(jié)省學(xué)生寶貴的考試時間.

通過上述高考題我們可以清楚看到，利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)解決以角平分線為條件的問題非常簡潔明了，計算簡單.所以個人認(rèn)為三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)在解題中的應(yīng)用值得在高中階段向?qū)W生介紹.

參考文獻(xiàn)

[1]蔡潤芳.圓錐曲線焦點三角形頂角平分線的性質(zhì)探究.數(shù)學(xué)通訊，數(shù)學(xué)通訊，2012（4）：20-21