玩味三角板 品悟精彩

三角板是學生熟悉的學習用品，通過旋轉兩塊特殊的三角板，由淺入深、循序漸進地設計一些具有思考價值的數學問題，讓學生思考，巧妙考查三角形邊角關系、全等、相似、旋轉變換等知識，引導學生體驗旋轉三角板是實踐操作到數學思考活動經驗的積累過程，幫助學生透過旋轉表象理解幾何圖形性質，提煉解題規律，提升解題能力，提高數學思維水平.

本文以2013年山西中考試卷第25題為例，探討兩塊特殊三角板旋轉后求解重疊部分面積的問題，以期藉此感受數學的魅力.

1 提出問題——實驗到認證

由問題引發思考，旋轉兩塊全等的特殊三角板，在操作活動中發現幾何圖形特征，挖掘數學信息，抽取建構數學模型，探求隱含問題解決的方向和手段，尋找解決問題的突破口，鼓勵學生動手操作、積極思考、交流探討.

2 方法引領——拓展發散思維空間

低起點、多層次設計數學問題，把知識的發生、發展規律與學生的認知結構有機地結合起來，讓各層次的學生主動參與思維訓練，在尋找、交流一題多解的過程中循序漸進，逐步演變、延伸、拓展，學生“跳一跳”就能夠得著“果子”不僅能激發學生學習的積極性，而且為學生順利理解知識、消除困惑、突破思維障礙，優化思維品質，奠定良好的基礎.

活動2 將DEFΔ繞點D旋轉，使DEAB⊥交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，求出重疊部分（）DGHΔ面積？

3 類比探究——提煉數學思想方法

在實驗操作探究中，通過旋轉變換條件的分類與有效組合，把三角形相似，直角三角形、面積分割、等積變換等相關知識點集中在問題的背景中，在學生思維的臨界處再追問，幫助學生建立知識點的聯系，促使學生主動思維，形成經驗，達到 “轉軸拔弦三兩聲，未有曲調先有情”的境界.

活動3 如圖5，將ΔDEF繞點D旋轉，DE，DF分別交AC于點M，N，使DM=MN求重疊部分（ΔDMN）的面積.

活動6 如圖8，點C，E重合時，旋轉DEFΔ，連接AF，BD，類比上述五個實踐操作，你能提出一些新問題嗎？

旋轉變換要研究的核心問題就是全等變換和相似變換，在旋轉點的變化布局中探求方法，由面積求解到函數變化規律，活動五讓人耳目一新，審視一次次旋轉問題的“蛻變”，在問題有序的變化中發現問題的變化規律，充分挖掘了旋轉的內在價值，著眼于學生的發散性數學思維的發展，把握了學生能力的提升，引導學生提出新問題，靜心于潛移默化中完成感性到理性認識的飛躍，開闊了視野.

5 反思與感悟

5.1 幾何旋轉——變換本質

“對稱、平移、旋轉”是最基本的幾何變換，旋轉變換是指一個圖形繞某個點旋轉一個角度，保持形狀、大小不變的前提下，使其位置發生了變化.本題兩塊特殊三角板旋轉后組合成新的圖形，通過把復雜圖形的分割、借助添加輔助線轉化為幾何基本圖形，把面積求解問題轉化為等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形等基本的幾何圖形問題，彰顯出旋轉變換的本質——轉化.

5.2 幾何旋轉——變換意識

本題變化條件，碰頭一旋轉，用動態的觀點看待幾何圖形的生成過程，嘗試用變與不變的邏輯關系分析已知與結論關系，雖千變萬化，但探究后發現柳暗花明又一村，思路豁然開朗.這就要求學生改變傳統的分析平面圖形的組成和幾何學習模式，用運動、變化的觀點看待幾何圖形，在動手實驗操作中感悟圖形的運動變化之妙，滲透幾何變換思想，感悟出題目中具備何種變換的基礎信息，力圖通過實驗活動讓學生自覺形成的幾何變換意識.

5.3 實踐創意——理性探索

學生動手親自體驗旋轉過程中圖形的位置變化，面對旋轉變化出新問題，引導學生能合理選擇有效的手段和策略，靈活應用所學的知識和方法進行探索研究，創新解法為學生今后的學習埋下了一個堅實的“固著點”和“生長點”，旋轉變換，解決問題視角不同，解法也多樣，在實踐操作中有意識地引導學生參與、嘗試、比較和體悟，分析“變”與“不變”的邏輯關系，在圖形變化中尋找基本圖形，培養學生的識圖能力、探究能力和發散思維能力.

5.4 體現——“最近發展區”理論

每種解法與思路的誕生不是憑空而得，回顧幾種解題思路，都是在前一種特殊的情形、方法中汲取營養，進一步拓展變化，繼承與發揚、溝通了學生的潛在發展水平與實際發展水平之間的聯系，增強了對幾何基本圖形的辨析和構造能力，尋找問題相似點，探求解法，通過旋轉變換去揭示構造的數學思維方式，并在操作中摸索幾何構造，提高了解題效益.

5.5 數學實驗問題——探究能力

本題要求學生通過觀察、實驗等活動過程自主地發現有關規律，推理證明猜想并加以尋找解釋計算，需要學生經歷一定的實驗、操作等活動.旋轉變換的過程設計了有待于學生去探究挖掘所蘊涵數學本質的問題，通過多角度、多層次研究，發現了知識內在的聯系，培養了學生數學實驗的“數學問題形成”的一般思路和探究能力.

通過旋轉三角板變換兩三角板重疊圖形，求解重疊部分幾何圖形的面積隨著旋轉角度的變化，處處滲透著轉化、建模等數學思想.旋轉三角板的過程是一個蘊涵了讓學生經歷觀察、猜測、合情推理、有條理認證的數學活動過程，較好地鍛煉了學生通過歸納發現總結一般規律的能力.

實驗操作編排起點低、坡度緩，各操作活動問題間承接性明顯，每一步的數學操作活動都為下面的思維爬坡打下基礎，為學生順利解決問題隱含地提供了導向作用，凸現了數學思維的獨特品質，較好地實現了對初中幾何基礎知識、技能和以數學思維為核心的能力考查，最終達到培養學生的思維品質，提高學生的數學素養.