均值不等式與輪換式的精彩演繹

2009年清華大學自主招生一道試題（詳見本文例1）一經出爐便引起許多讀者的密切關注與探索，筆者拜讀文[1]、文[2]、文[3]深受啟發，其中文[1]給出了兩種證明方法，即方法1：利用數學歸納法并結合重要不等式；方法2：利用三角換元并結合二項式定理，但其證明推理過程較為復雜.文[3]也給出了兩種證明方法，即方法1：利用二項式定理并結合放縮；方法2：構造函數并利用求導.文[2]雖然給出了利用均值不等式的證明方法，遺憾的是作者既沒有指出為何這樣構思，也就是說對讀者（尤其是中學生）難以起到借鑒和指導作用，更沒有乘勝追擊地給予推廣.倒是文[3]給出了推廣，即命題1與命題2，美中不足的是其推廣的結論似乎與其提供的證明方法毫無關聯，因此文[3]的作者自己也談到：“因命題1、命題2的證明用前面兩種方法難以湊效，故命題1采用貝努力不等式”、命題2采用權方和不等式來加以證明.依筆者愚見，作為讀者恐難尋著文[3]作者的思路得到這樣的推廣，讀者心里迷糊的是：怎么想到這樣的推廣呢？為何要這樣推廣呢？又如何證明這樣的推廣呢？以后遇到這樣的問題又該如何構思呢？因此筆者認為這樣得來的推廣多少有些勉強.作為對這道清華自主招生試題探究的繼續，筆者從輪換式的角度并結合均值不等式對這道著名學府的自主招生試題進行一些膚淺的探究，同時順勢對《數學通報》1863號問題（詳見本文例2）給出一種簡捷的解答，不妥之處，請批評指正.

有興趣的讀者按照上述剖析完全可以模仿證明文[6]中的推廣1（即文[4]中的問題1），并容易看出并證明文[4]的推廣.

運用均值不等式的關鍵就是充分利用等號成立的條件，尤其是對具有（或經過適當變形使之具有）輪換式、對稱式、輪換對稱式的問題更是特別有效，此時只要尋找到等號成立的條件，然后利用條件配湊、添加因式，為妥善運用均值不等式創造條件，這正是均值不等式的精髓.對上述例2，我們可以改變已知條件，如：21xy+=，31xy+=，21xy+=，…，當然相應的結論也隨之而變，這樣可以得到一系列的變式訓練題.從上述兩個例1、例2的分析過程足夠可以看出這種構思和證明過程完全可以模仿并掌握其操作流程，并且比較容易得出其推廣結論.

如果我們從構造輪換式的角度去回顧并審視曾經看過、做過的題目，不論是常見的課本習題、高考試題，還是自主招生試題、數學問題，乃至國際奧賽試題，您會發現身邊有太多這樣的題目.

行文至此，筆者感嘆陸老師在文[7]開始時的一段精彩的話語：“不等式的證明對證明者來說是一個極大的挑戰，因命題者當局者迷，也許會給旁觀者留下證明的寬闊舞臺，于是一個又一個簡單的、漂亮的證明被不等式愛好者尋獲”.這也是筆者本文的目的：拋磚引玉.期望看到更多數學名家大師演繹均值不等式與輪換式的完美篇章，渴望看到上述這些不等式問題獲得更簡潔、更漂亮、更絕妙的解答.

參考文獻

[1]時寶軍等.2009年清華大學自主招生數學試題解答與評析.數學通訊，2010（3）：54-57

[2]王亞輝.簡證2009年清華大學自主招生一道數學試題.數學通訊，2010（8）：28

[3]趙思林等.2009年清華大學自主招生一題的簡解與推廣.數學通訊，2010（11）：53

[4]劉成龍.《數學通報》1863號問題的另證及推廣.中學數學研究（江西），2011（6）：25-26

[5]薛茂文.對一個數學問題的探究.中學數學研究（江西），2012（3）：13-15

[6]王增強.對一個數學問題的再探究.中學數學研究（江西），2012（9）：26-27

[7]陸愛梅.若干分式不等式證明的思考.中學數學研究（江西），2012（9）：21-22