用參數(shù)法求軌跡方程的選參類說

應(yīng)用參數(shù)法求軌跡方程，參數(shù)的選擇因題而異，大致可分類為雙參數(shù)法和單參數(shù)法.雙參數(shù)法有點坐標(biāo)為參數(shù)、復(fù)數(shù)為參數(shù)、其它雙變量為參數(shù)等.單參數(shù)法又可分為幾何參數(shù)和物理參數(shù).幾何參數(shù)有截距、斜率、角度、有向線段、線段長度、比值、面積等，物理參數(shù)有時間、速度、路程等.

下面分類舉例來說明這個問題.

1 雙參數(shù)法

1.1 點坐標(biāo)為參數(shù)

分析 聯(lián)立兩拋物線的方程可得公共點（x， y），它依賴于雙參數(shù)a，b的兩個方程，再從有且僅有一個公共點這個條件可得參數(shù)a，b間的一個關(guān)系式，從三個方程消去參數(shù)a，b即可得解.

2 單參數(shù)法

2.1 截距為參數(shù)

例5 已知拋物線y2=2px（ p>0）中有一組斜率為k的平行弦，求這些平行弦中點的軌跡方程.

解 設(shè)平行弦AB所在線的直方程為y=kx+ b （b參數(shù)），解答略.

2.2 斜率為參數(shù)

例7 設(shè)一三角形的底邊固定，它的高為h（定長），求這個三角形垂心的軌跡方程.

解 建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)ΔAOB的垂心H的坐標(biāo)為（x， y），B點坐標(biāo)為（a，0），AD，OE為OBAB兩邊上的高，有向線段OD=t，（t為參數(shù)），則A點坐標(biāo)為（t， h），AD的直線方程為x=t，解答略.

5 角度為參數(shù)

例9 線段ABa=的兩端沿直角坐標(biāo)軸滑動，自兩端點分別作坐標(biāo)軸的平行線交于C點，再由C點作AB的垂線CM，求垂足M的軌跡方程.

解 建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，過（）M x y，，點作MN平行于x軸，與y軸交于N，設(shè)（BAOθθ∠=為參數(shù)），解答略.

6 比值為參數(shù)

例10 過點（）Q a b，引直線l，分別交x軸、y軸于R，S點，求線段RS的中點M的軌跡方程.

解 設(shè)動點（）M x y，分線段QS之比為λ，解答略.

7 時間為參數(shù)

例11 已知射線l以角速度ω繞其端點O逆時針旋轉(zhuǎn)，同時點P以角速度2ω繞l上某定點C在半徑為r的圓周上逆時針旋轉(zhuǎn).設(shè)||OCR=，求點P的軌跡方程.

解 以O(shè)為原點，以射線l的初始位置為x軸建立如圖8的直角坐標(biāo)系.圖中Ox′是經(jīng)過時間t射線l所轉(zhuǎn)到的位置，（）P x y，為軌跡上任意一點，解答略.

當(dāng)然，同一道軌跡題，既可以用直接法也可以用參數(shù)法求解，不論是直接法還是參數(shù)法，也可以從各個角度選擇不同的方法或不同參數(shù)，從而得到不同的解法.如本文的例10，除了選比值為參數(shù)外，還可以選斜率為參數(shù)、角度為參數(shù)、點坐標(biāo)（點S或點R ）為參數(shù)、有向線段為參數(shù)等求解，也還可以從不同角度得到幾種直接求解的解法.

回顧

我在初中教了完整的兩屆，這對我的專業(yè)成長非常重要，因為這樣對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有系統(tǒng)而全面的了解，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和研究很有幫助.1985年開始，我在高中教數(shù)學(xué).教初中數(shù)學(xué)，我以“引趣”為主；教高中數(shù)學(xué)，我則以“引深”為主.用參數(shù)法求軌跡方程，參數(shù)的選擇因題而異.我覺得這是個“研究點”，便歸類習(xí)題分析之，整理成文將近7000字.

當(dāng)時膽子也挺大的，寫好后就直接投寄《數(shù)學(xué)通報》，人家沒用稿，也不通知你，3個月后“可另投他刊”.能在《數(shù)學(xué)通報》上發(fā)表文章，是我多年的夢想，直到1995年我才實現(xiàn)“零的突破”.

還是現(xiàn)實點，改投寄《福建中學(xué)教學(xué)》，當(dāng)時福建教育學(xué)院的數(shù)學(xué)編輯是林寶松教授，他是我成長中的“重要他人”，一直鼓勵我、扶持我.今天看這篇文章“不咋地”，但《福建中學(xué)教學(xué)》還是刊登了這篇文章，放在第一篇，站了4個頁碼多！中國人民大學(xué)書報資料中心復(fù)印報刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》1988年12期，還全文轉(zhuǎn)登了此文.

凝思

我擔(dān)任職稱評委時，有一個觀點，不希望參評教師交“條文加例”的論文.所謂“條文加例”的論文，就是一個小標(biāo)題或標(biāo)題配簡短文字，加上幾個例子，就算一篇論文，這是學(xué)科教育論文的一大通病.如《××××的若干解題方法》、《××××法在解題中的妙用》等，以理科解題教學(xué)為多見.一篇文章，去掉例子和標(biāo)題，余下的文字，（還不是全部）才是你的觀點.寫這類文章的老師不妨數(shù)數(shù)，屬于你觀點的還有幾個字？

我的這篇文章，就是典型的“條文加例”的文章.我不是說這類文章沒有價值，也不是說這類文章不能發(fā)表.只是想說，這類文章比較好寫，這類文章一般無法在行文中表達自己的觀點.

要評職稱的老師，建議不要送這樣的論文作為“代表作”.因為“著書而不立說，撰文而不立論”，恐難獲好評.

展望

雖然我不希望要參評職稱的教師，交“條文加例”的論文，但我還是希望數(shù)學(xué)教師尤其是年輕一點的數(shù)學(xué)教師，在你的教學(xué)過程中積累相當(dāng)數(shù)量的“條文加例”的總結(jié)，這個總結(jié)可以寫在你的教案里，也可以拿去發(fā)表.不管怎么說，它是對一類問題解法的歸納或一種方法的多種運用，積累多了，教學(xué)就能更有效、更高效，你的研究就能在此基礎(chǔ)上去升華、去衍生、去創(chuàng)新出有自己觀點的有價值的成果來.