Pareto分布在型Ⅱ受限望小型產品過程能力分析中的應用

王超

[摘 要] 針對望小型產品（或服務）的作業時間特性，使用Kane（1986）過程能力指標CU作為研究對象。在Pareto分布總體情形假定下，推導出型Ⅱ受限情形下CU的極大似然估計量，并且研究了其統計特征，最后討論了CU統計推斷問題。

[關鍵詞] 望小型產品； 服務； 過程能力分析； Pareto分布； 型Ⅱ受限樣本

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 01. 051

[中圖分類號] F273.2； F224.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1673 - 0194（2014）01- 0097- 02

1 簡 介

過程能力分析是一種有效測量過程績效及潛在能力的方法。工業生產領域，過程能力指數（PCIs）被用于評估產品質量是否達到需要標準。廣泛使用的該類指數包含Cp，Cpk，Cpm和Cpmk等。這4類指標適用于具有雙邊規格型產品。除了雙邊規格型產品過程能力指標外，Montgomery（1985）和 Kane（1986）提出適用于單邊規格特性產品的過程能力指標，如CL，CPL和CU，CPU，其中 CL和CPL為望大型（Larger-the-better）特征產品過程測度指標，而CU，CPU為望小型（Smaller-the-better）特征產品過程測度指標。就作業時間而言，其包含顧客等待服務時間、企業的作業時間等，由于作業時間越長顧客滿意度越差，因此都具有越小越好的望小型品質特征，由此可知，該類產品的作業時間可以使用望小型過程能力指標來衡量。

2 過程能力指標和不合格率

2.1 Pareto分布總體下的過程能力指標

設某產品（或服務）時間X服從Ⅱ型Pareto分布，其分布函數及概率密度函數分別為

FX（x） = 1 - （x + 1）-θ （1）

f（x；θ） = θx-（θ + 1），x > 1，θ > 0 （2）

令Y = 1n（X），則Y的概率密度函數為指數分布

f（y；θ） = θe-θy，y > 0，θ > 0 （3）

Kane（1986）根據望小型品質特性提出過程能力指標CU，其定義如下：？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

CU = ■ （4）

式中，μ表示過程均值，σ表示過程標準差，U表示過程設定上限，如某銀行規定，儲蓄業務所需時間最多不超過10分鐘。在Pareto分布情形下，本文使用產品或服務時間（X）的對數（Y）作為新的研究對象，由于Y服從指數分布，故其期望和方差分別為：

E（Y） = 1/θ，Var（Y） = 1/θ2 （5）

將式（5）帶入式（4）得

CU = ■ = ■ = θU - 1 （6）

2.2 過程能力指標與不合格率之間的關系

不合格率（non-conformance rate）的界定為企業作業時間超過顧客對于企業作業時間的容忍上限（U）的概率，如果使用p表示不合格率，則在Pareto分布情形下，有

p = P（Y > U） = 1 - P（Y ≤ U） = e-θU = e■ （7）

由于？鄣p/？鄣CU = -e■ < 0，所以，不合格率是過程能力指標CU的遞減函數。兩者之間存在反向關系，CU越大，p越趨于0；CU越小， p越趨于1。可見，過程能力指標有越大越好的特征。

2.3 過程能力指標CU的極大似然估計

型Ⅱ截尾數據中，被截尾數量r事先被確定，如此，整個樣本資料只包含前r個最小值。設X（1） < X（2） < … < X（r）為型Ⅱ截尾數據的樣本觀察值，則1n（X（1）） < （1nX（2）） < … < （1nX（r）），即Y（1） < Y（2） < … < Y（r）。根據Lawless（2003）知，服從指數分布的前r次序統計量聯合概率密度函數為：

■■θe■e■■ （8）

因而，得出θ的極大似然估計量為：

■ =■，r ≤ n （9）

根據極大似然估計的不變性質，有：

■U =■ = ■U - 1 = ■ - 1？搖？搖 （10）

令W=■lnX（i） + （n - r）lnX（r），根據Lawless（2003）有：2θW ～ χ22r，所以

E（■U） = E■ - 1

= E■ - 1 = rUE■ - 1 = rU2θE■ - 1

= rU2θ■ - 1 = ■θU - 1？搖 ？搖？搖？搖？搖？搖 （11）

由于E■U≠CU，所以 ■U并非CU的無偏估計量，但可以看出，■E■U = CU，所以，■U是CU的漸近無偏估計量。

3 過程能力指標CU的區間估計

由于■U = ■ - 1 = ■ - 1，所以θW = ■， 即2θW = ■ ～ χ22r？搖 （12）

所以CU100（1 - α）的雙側置信區間為：

■ - 1，■ - 1 （13）

4 過程能力指標CU的統計檢驗

正如前面所分析的那樣，一般而言，過程能力指標具有越大越好的性質。所以，在只有樣本資料可以取得的情形下，我們作如下假設：

H0：CU ≤ c（過程能力指標不符合要求，即作業時間績效不符合顧客要求）

H1：CU > c（過程能力指標符合要求，即作業時間績效符合顧客要求）

本文使用CU的極大似然估計量■U進行檢驗，其拒絕區域可表示為■U > c0。給定顯著性水平α，臨界值c0可通過如下方式獲得：

P■U > c0CU = c = α

？圯 P■ - 1 > c0θ = ■ = α

？圯 P2θW < ■θ = ■？搖 = α

？圯 P2θW < ■ = α （14）

由于2θW ～ χ22r，這相當于求解自由度為2r的卡方分布100α分位點，這個點我們使用符號χ2α，2r表示，這樣就有

■ = χ2α，2r （15）

于是臨界值

c0 = ■ - 1 （16）

此時，若 ■U > c0，則拒絕原假設，接受備擇假設，認為作業時間績效符合顧客要求。否則，不能拒絕原假設，認為作業時間績效并不符合顧客要求。

5 結 論

工業生產領域中，過程能力分析常用于質量控制，有關過程能力指數的多數理論及應用文獻，多以正態分布為基礎。但多數分析已經表明，很多現象并不服從正態分布。本文的作用在于：其一，以望小型品質特征產品（或服務）為研究對象；其二，討論了帕累托分布情形下過程能力指標的統計推斷問題。另外在抽樣方法上，使用更為常見的型Ⅱ截尾數據資料。對產品的生產者或者服務的提供者而言，使用這一新的程序檢驗產品（或服務）質量是否達到顧客的需求，進而對其生產過程進行有效控制。

主要參考文獻

[1] D C Montgomery. Introduction to Statistical Quality Control[M]. New York，NY：John Wiley & Sons，1985.

[2] E Kane. Process Capability Indices[J]. Journal of Quality Technology，1986，18（1）：41-52.

[3] N L Johnson，S Kotz，and N Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions，Vol.1[M]. 2nd Edition. New York，NY：John Wiley & Sons，1994.

[4] J F Lawless. Statistical Models and Methods for Lifetime Data[M]. 2nd Edition. New York，NY：John Wiley & Sons，2003.