羅爾中值定理及其應(yīng)用

張笛

【摘要】微分中值定理是高等數(shù)學(xué)微分學(xué)的核心內(nèi)容，本文在羅爾中值定理的基礎(chǔ)上，給出了羅爾中值定理在有限區(qū)間上的推廣形式，并給予了證明.此外，通過例題分析闡述了羅爾中值定理的具體應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】羅爾中值定理；區(qū)間推廣；應(yīng)用

引 言 微分中值定理是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，也是微分學(xué)的基本定理之一，更是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具；羅爾中值定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特例，也是對二者證明和理論分析的基礎(chǔ).本文給出了羅爾中值定理在有限區(qū)間上的推廣及其在解題中的應(yīng)用.

一、羅爾中值定理

若函數(shù)f（x）滿足以下條件：

（1）f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

（2）f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）f（a）=f（b），

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

二、羅爾中值定理的幾何意義

在每一點都可導(dǎo)且端點高度相等的連續(xù)曲線y=f（x）上存在這樣的點Mξ，f（ξ），使得過M點的切線y=f′（ξ）x-ξ+f（ξ）平行于x軸（或平行于端點的連線lAB），如圖所示.

三、羅爾中值定理在有限區(qū)間（a，b）上的推廣

若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點處單側(cè)極限存在，即limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f′（ξ）=0.

證明 方法一（反正法） 假設(shè)不存在點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0，即函數(shù)f′（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)無零點，故由導(dǎo)函數(shù)零點定理的推論知，f′（x）在區(qū)間（a，b）上函數(shù)值恒正或恒負(fù)，即f′（x）>0或f′（x）<0，x∈（a，b），所以，f（x）在區(qū)間（a，b）上嚴(yán)格單調(diào).顯然，這與已知條件limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=A相矛盾，所以，假設(shè)不成立，即上述命題得證.

方法二 構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）x∈（a，b）

Ax=a，x=b，此時函數(shù)F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且F（a）=F（b）=A，所以，由羅爾中值定理知在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得F′（x）=f′（ξ）=0.

方法三 若f（x）是區(qū)間（a，b）上的常值函數(shù)，即f（x）=A，x∈（a，b），結(jié)論顯然成立.若f（x）不是區(qū)間（a，b）上的常值函數(shù)，則必存在一點x0∈（a，b）使得f（x0）≠A.①當(dāng)f（x0）0，使得a+δf（x0），于是f（x）在區(qū)間a+δ，b-δ上有最小值，設(shè)最小值點為（ξ，f（ξ）），ξ∈a+δ，b-δ，因f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，所以，ξ必為函數(shù)的極小值點，故由費馬定理知f′（ξ）=0.②當(dāng)f（x0）>A時，據(jù)函數(shù)極限不等式性質(zhì)知，存在δ>0，使得a+δ

四、羅爾中值定理在解題中的應(yīng)用

（一）證明至少存在一點ξ∈（a，b），使得f′（ξ）關(guān)于ξ的函數(shù)

分析 采用原函數(shù)法構(gòu)造函數(shù)F（x），使得F′（x）=c（c為實常數(shù)），且F′（x）是與f（x）相關(guān)的函數(shù).

例1 設(shè)f（x）在閉區(qū)間0，π2內(nèi)可導(dǎo)，且fπ2=0，證明：存在一點ξ ∈0，π2，使得f（ξ）+f′（ξ）tanξ=0.

分析 把ξ換成x，即需證明f（x）+f′（x）tanx=0，由微分方程知這是一階線性可變量分離型微分方程，經(jīng)恒等變形得dydx=-ycotx，易得方程的通解f（x）sinx=c，故構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）sinx即可.

證明 由分析知構(gòu)造函數(shù)令F（x）=f（x）sinx，顯然，F(xiàn)（x）在區(qū)間0，π2內(nèi)可導(dǎo)，又F（0）=Fπ2=0，所以，F(xiàn)（x）滿足羅爾中值定理條件，故由羅爾中值定理知存在一點ξ ∈0，π2，使得F′（ξ）=0，即上述結(jié)論成立.

例2 設(shè)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，f12=1.證明：（1）存在一點η∈12，1，使得f（η）=η.（2）對任意常數(shù)λ∈-∞，+∞，存在一點ξ∈（0，η），使得f′（ξ）-λ[f（ξ）-ξ]=1.

分析 把ξ換成x，即需證明f′（x）=λf（x）-λx+1，由微分方程知這是一階線性非齊次型微分方程，經(jīng)恒等變形得dydx=λy-λx+1，由常數(shù)變易法求得其通解（f（x）-x）e-λx=c，故構(gòu)造函數(shù)F（x）=（f（x）-x）e-λx即可.

證明 （1）令g（x）=f（x）-x，又g12=f12-12=12>0，g（1）=f（1）-1=-1<0，故由連續(xù)函數(shù)零點定理知，存在η∈12，1，使得g（η）=0，即f（η）=η.

（2）由分析知構(gòu)造函數(shù)令F（x）=（f（x）-x）e-λx，由題意知F（0）=F（η）=（f（η）-η）e-λη=0，所以，F(xiàn)（x）滿足羅爾中值定理條件，故由羅爾中值定理知，存在點ξ∈（0，η），使得F′（ξ）=0.即上述結(jié)論成立.

（二）證明在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ，使得f（n）（ξ）=0，（n>1且n∈N）

分析 尋找點x1，x2使得[x1，x2][a，b]，對函數(shù)f（n-1）（x）在區(qū)間[x1，x2]上運用羅爾中值定理即可.

例3 設(shè)g（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)存在二階導(dǎo)函數(shù)，且g（a）=g（b）=g（c），對任意c∈（a，b），證明：至少存在一點ξ∈（a，b），使得g″（ξ）=0.

證明 由題意知g（x）在區(qū)間[a，c]和[c，b]上都滿足羅爾中值定理，對g（x）在這兩個區(qū)間上分別運用羅爾中值定理，即存在點x1∈（a，c），x2∈c，b，使得g′（x1）=g′（x2）=0，由題意知g′（x）在區(qū)間[x1，x2]上也滿足羅爾中值定理，故由羅爾中值定理知，至少存在一點ξ ∈（x1，x2）（a，b），使得g″（ξ）=0.故上述命題得證.

（三）方程根的討論

例4 討論三次函數(shù)f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-∞，+∞）上零點個數(shù)，并指出零點所在區(qū)間.

解 顯然由f（x）=（x-1）（x-3）（x-5）知其導(dǎo)函數(shù)f′（x）是（-∞，+∞）上連續(xù)可導(dǎo)的二次函數(shù)，由題意知f（1）=f（3）=f（5）=0，故對f（x）分別在區(qū)間[1，3]，[3，5]上運用羅爾中值定理，即存在點ξ∈（1，3），η∈（3，5）使得f′（ξ）=f′（η）=0，所以，函數(shù)f′（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上至少有兩個零點，又因f′（x）是一元二次函數(shù)，故其有且僅有兩個零點，分別為ξ，η，其中ξ∈（1，3），η∈（3，5）.

例5 證明：方程2ln（x+1）=x在區(qū)間（0，+∞）上有唯一實根.

證明 ①先證存在性.令f（x）=x-2ln（x+1），x∈（0，+∞），由題意知limx→0+f（x）=0，f（1）=lne4<0，limx→+∞f（x）=+∞，故由連續(xù)函數(shù)零點定理知存在一點ξ，ξ∈（1，+∞）使得f（ξ）=0，即函數(shù)f（x）=x-2ln（x+1）在區(qū)間（1，+∞）上有一實根ξ.②下證唯一性（反證法）.假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)存在兩互異實根 x1，x2，不妨設(shè)x1

結(jié)束語 本文闡述了羅爾中值定理及其在有限區(qū)間上的推廣，并結(jié)合例題詳細(xì)分析了原函數(shù)法即通過建立和求解微分方程來構(gòu)造函數(shù)，化抽象為直觀，加深了對羅爾中值定理的理解，有力地提高了羅爾中值定理在解題中的應(yīng)用能力.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]曹顯兵，劉喜波.高等數(shù)學(xué)（微積分）輔導(dǎo)講義[M].北京：海豚出版社，2011.