例談單位圓在解題中的妙用

譚炳華

【摘要】在三角函數的相關學習和推導中，我們引入了單位圓，三角函數與單位圓之間有著非常巧妙的聯系，比如說任意角的三角函數值都可以通過單位圓來確定，可以是單位圓上某個點的坐標，還可以是用單位圓上的一些三角函數線來確定.單位圓在三角函數的學習和研究當中，占據著非常重要的地位.單位圓為三角函數的學習和推導帶來了一些更加便利的方法，同樣的，在三角函數的相關問題求解過程中，單位圓也是最常用到的一種方法.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；單位圓

在教學中，教師也常常強調，在解決問題時可以通過畫草圖的方法來幫助自己理清思路，分析已知條件，更快速地尋找到正確的解題方法.比如說幾何體，我們必須要會畫圖.那么解三角函數相關的問題呢？我們同樣可以畫圖，結合坐標系，用單位圓的示意來幫助理清題目意思，對解決三角函數的問題有很大的幫助.下面我將通過若干例題來談談在解題中如何使用單位圓.

一、求 值

求值是三角函數中最常見的一類題型，三角函數的求值一般都不是很難，因為函數不會太復雜，利用單位圓輔助求三角函數的值，可以把問題變得更加簡單.

圖 1例1 已知關于θ的方程3cosθ+sinθ+a=0在區間（0，2π）上有兩個不相等的實數根α，β，求cos（α+β）的值.

解析 先假設點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），我們很容易就可以發現，這兩點剛好是在單位圓x2+y2=1上，根據已知條件中α，β是方程3cosθ+sinθ+a=0的兩個實數根，我們也可以得出A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）這兩點是在直線l：3x+y+a=0上，再由這些信息畫出一個示意圖，如圖1所示.

結合相關已知條件，并根據圖1，我們可以直接得出直線l的傾斜角2π3，圖中弦AB的中垂線OC的傾斜角則剛好是π6，如果設角γ表示以邊OC為終邊的角，并且γ∈0，2π，那么可以得出γ=7π6.再由圖1可得：γ-α=β-γ，即α+β=2γ=7π3，那么cos（α+β）=cos7π3=12.

二、證明題

在證明題中，等式或者是不等式和比較大小的證明也是常出現的題型，特別是有關三角函數的等式或不等式，在證明的過程中，同樣可以巧妙地使用單位圓來輔助證明.

圖 2例2 已知cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，其中0<α<β<γ<2π，那么，求證等式α+γ=2β.

證明 假設點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），這三個點剛好都在單位圓x2+y2=1上，如圖2所示.

因為OA=OB=OC，那么點O剛好是三角形ABC的外心，又因為cosα+cosβ+cosγ=0，所以cosα+cosβ+cosγ3=0，sinα+sinβ+sinγ3=0，O點又是三角形ABC的重心，根據重心和外心這兩心合一，可知三角形ABC是一個正三角形.又因為0<α<β<γ<2π，由圖可知，β=α+2π3，β=γ-2π3，也就是α+γ=2β.

三、求函數值域

求函數的值域也是有關三角函數的常見題型，只要是和三角函數相關，那么單位圓的利用幾率就是非常大的，學生們在平時的學習中，就要養成這樣的一種解題思維習慣，對三角函數的相關問題，我們首先要考慮能否用單位圓來表示，結合圖形深入分析題目，并逐步解題.

圖 4例3 求y=sinxcosx+2的值域.

解析 首先，可以對該已知函數進行變形，把函數表示成一種更加容易理解的形式，如把y=sinxcosx+2變形為y=sinx-0cosx--2，那么這個函數我們就可以把它看成是以原點為圓心，在單位圓上的點cosx，sinx與點P（-2，0）連線的斜率k.由此可得，本題中所求的函數的值域，其實就是該連線的斜率k的取值范圍.根據題意，先畫出示意圖.如圖4，當直線y=k（x+2）與單位圓x2+y2=1相切時，斜率k有最大值和最小值，得-33≤k≤33，即函數y=sinxcosx+2的值域為-33，33.

從上面幾道題來看，單位圓在三角函數的相關問題中運用非常多，包括不同類型的題目，除了上面幾種常見的類型之外，還可以用于解決解不等式和復數的問題.將三角函數與單位圓聯系起來，可以更加直觀地理解好題意，并根據圖像找到解決問題的便利方法.

【參考文獻】

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