高考向量方法解題與教學(xué)研究

趙麗娜

【摘要】向量是我國(guó)高中數(shù)學(xué)新課程中的必修內(nèi)容，向量具有代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，是解決幾何問(wèn)題的有力工具，集中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.本文從向量的本質(zhì)理解出發(fā)，探討高考向量試題，以期對(duì)我國(guó)向量教學(xué)提供新的視野.

【關(guān)鍵詞】課程改革；高考數(shù)學(xué)；向量

向量是刻畫幾何對(duì)象的重要工具，大多數(shù)教材定義向量是有大小有方向的量.向量既具有圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性.從而向量是一個(gè)具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念.既表現(xiàn)為過(guò)程操作，又表現(xiàn)為一種對(duì)象、結(jié)構(gòu).向量概念又是代數(shù)與幾何的交匯，所以教學(xué)更應(yīng)該具有思維發(fā)展的層次性和階段性.

1.高考向量方法解題的案例分析

案例1 【2012年高考江西理科試題】在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則|PA|2+|PB|2|PC|2=.

分析 如圖，將直角三角形放入直角坐標(biāo)系中，設(shè)A（a，0），B（0，b），a，b>0，則Da2，b2，Pa4，b4，所以|PC|2=a42+b42=a216+b216，|PB|2=a42+b4-b2=a216+9b216，|PA|2=a4-a2+b42=9a216+b216，所以|PA|2+|PB|2=a216+9b216+9a216+b216=10a216+b216=10|PC|2，所以|PA|2+|PB|2|PC|2=10.

點(diǎn)評(píng) 向量法解題是程序化算法，是解決幾何問(wèn)題的主要方法.

案例2 【2012年高考天津理科試題】已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足AP=λAB，AQ=（1-λ）AC，λ∈R，若BQ·CP=-32，則λ=.

解析 如圖，設(shè)AB=b，AC=c，則|b|=|c|=2，b·c=2.

又 BQ=BA+AQ=-b+（1-λ）c，CP=CA+AP=-c+λb，由BQ·CP=-32，得[-b+（1-λ）c]·（-c+λb）=（λ-1）|c|2-λ|b|2+（λ-λ2+1）b·c=-32，

即4（λ-1）-4λ+2（λ-λ2+1）=-32，

整理4λ2-4λ+1=0，

即（2λ-1）2=0，解得λ=12.

點(diǎn)評(píng) 回路解題是向量解題特有的解題方法.

2.高中向量概念教學(xué)建議

在向量教學(xué)中，教師普遍采用課本統(tǒng)一的教學(xué)程序和教學(xué)策略，在傳授過(guò)程中對(duì)向量做一定的簡(jiǎn)單化處理，建立單一標(biāo)準(zhǔn)的基本表征，認(rèn)知環(huán)境的單一化，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)向量概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊.而用向量解決問(wèn)題通常有三個(gè)過(guò)程：形譯成向量→向量運(yùn)算→向量譯成形.學(xué)生表征的轉(zhuǎn)化能力較弱，教師沒(méi)有采取更多的教學(xué)手段（包括計(jì)數(shù)器、信息技術(shù)整合等），所以學(xué)生對(duì)向量的掌握停留在初級(jí)水平上，只建立在向量的求解步驟或計(jì)算公式的死記硬背和機(jī)械應(yīng)用之上，沒(méi)有建構(gòu)起解決問(wèn)題的思路，缺乏問(wèn)題探究與體驗(yàn)過(guò)程，難以產(chǎn)生廣泛、靈活的遷移.因此，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)認(rèn)知途徑的多樣化、概念表征的多元化必須采取“數(shù)量化”的方法，也就是代數(shù)化幾何的處理方法.例如，【2013年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則AE·BD=.對(duì)平面向量的正交分解的理解，可以從物理背景、幾何直觀、坐標(biāo)表示等方法來(lái)適應(yīng)不同層次學(xué)生理解的需要，同樣，信息技術(shù)作為學(xué)習(xí)的認(rèn)知工具，可實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化的可操作和可視性，并將各種元素的變化與聯(lián)系同時(shí)呈現(xiàn)，可以更好地幫助學(xué)生在教師的輔導(dǎo)下進(jìn)行充分自主地觀察、嘗試、猜想、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、提問(wèn)等探究式的活動(dòng)，從而更好地發(fā)展數(shù)學(xué)的思維、領(lǐng)悟向量的本質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

[1]秦德生，郭民，等.高考與大學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)考點(diǎn)大全與真題解析[M].東北師范大學(xué)出版社，2013.

[2]張景中，等.繞來(lái)繞去的向量法[M].北京：科學(xué)出版社，2010.