高中數學三角函數解題常見誤區分析

張正銀

【摘要】高中數學考試中，三角函數的考察主要圍繞三角函數的定義域、值域、三角形內角和定律、向量的變化等內容，本文分析了高中數學三角函數常見的幾個誤區，并指出了正確的解題方案.

【關鍵詞】高中數學；三角函數；誤區

高中數學中，三角函數是教學重點，也是高考熱點、難點.三角函數中，學生做題容易出錯的地方主要在對向量公式、原理的把握不夠，抽象思維能力不強，從而圖像平移、三角函數求值、單調性等方面容易出錯，具體如下：

一、在求角的過程中，沒有注意三角函數的名稱選擇

例1 已知sinα>sinβ，則下列命題成立的是（ ）.

若α，β是第一象限角，則cosα>cosβ

若α，β是第二象限角，則tanα>tanβ

若α，β是第三象限角，則cosα>cosβ

若α，β是第四象限角，則tanα>tanβ

注解 因為在第一、三象限內，正弦函數與余弦函數的增減性相反，因而可以排除A，C選項；在第二象限正弦函數與正切函數的增減性也相反，因而也可以排除B選項；在第四象限內，正弦函數與正切函數的增減性相同.

二、三角函數求解過程中沒有注意到函數圖像的變形

例2 求函數y=cosx3，x∈[0，4π]的值域.

錯解

令t=x3，x∈[0，4π]，則t∈0，43π，

于是y=cost，t∈0，4π3，所以，當t=0時，y取得最大值1.

當t=4π3時，y取得最小值-12.所以函數的值域為-12，1.

正解

令t=x3，x∈[0，4π]，則t∈[0，43π]，

于是y=cost，t∈0，4π3，結合函數圖像

當t=0時，y取得最大值1；

當t=π時，y取得最小值-1.

所以函數的值域為[-1，1].

注解

求解函數的值域時，不僅要根據x 的取值范圍，更要結合函數圖像的性質，利用函數圖像的單調性獲得函數的值域.

三、沒有把握好三角函數的平移概念

高中數學三角函數中，平移是將圖形與公式相結合的重要板塊，學生往往會難以把握，進而出解題失誤，影響到數學成績，因而必須厘清平移概念，把握好平移技巧，才能有效避免錯誤.

例 將曲線ycosx+2y-1=0先沿x 軸向右平移π2個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（ ）.

A.（1-y）sinx+2y-3=0

B.（y-1）sinx+2y-3=0

C.（y+1）sinx+2y+1=0

D.-（y+1）sinx+2y+1=0

注解 將原方程整理為：y=12+cosx，因為要將原曲線向右、向下分別移動π2個單位和1個單位，因而可以得出y=12+cosx-π2-1為所求方程，整理而得出（y+1）sinx+2y+1=0.

本題主要考查了三角函數中的平移及三角函數公式的推導，在對三角函數的平移有熟練掌握的前提下，可以將題目中的公式直接轉換為（y+1）cos （x-π2）+2（y+1）-1=0，得到答案C.

結 語

高中三角函數教學過程中面臨諸多問題，學生容易進入誤區，要綜合把握三角函數的概念、公式、角的變化范圍、值域與圖像的變化，注意公式的合理選擇、角的范圍的確定等因素對三角函數值域的影響，才能夠盡可能的在三角函數求解的過程中少犯錯誤，獲得好的學習效果.

【參考文獻】

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[2] 羅花花.探索技巧 優化解法——三角函數中的常用思想方法[J].中學教學參考.2010（11）.