如何利用數(shù)學(xué)分析知識(shí)證明不等式

王月

摘 要：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，需要找出數(shù)學(xué)問題中的系列問題，歸納找出不同解決方法。在數(shù)學(xué)分析中，不等式證明是可以看做一個(gè)系列問題來看待的，也是數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容。不等式的應(yīng)用占有極其重要的地位，其證明方法多樣化，本文主要研究利用函數(shù)的單調(diào)性、最值法、微分中值定理和格朗日余項(xiàng)泰勒公式解決不等式問題，以及如何適當(dāng)利用數(shù)分中的知識(shí)，探討證明不等式的方法和步驟，從而對知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)化，加深對相關(guān)理論知識(shí)的理解。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不等式；證明

不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中的重要方法和工具。在數(shù)學(xué)分析中，微分中值定理、函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要內(nèi)容的結(jié)論都可以證明不等式。

一、用函數(shù)的單調(diào)性證明

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與不等式密切相關(guān)。在證明不等式中，通過聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，一般取不等式為兩邊函數(shù)之差，將常量作為變量的瞬時(shí)狀態(tài)置于構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，從而證明不等式是大于還是小于0即可。

即用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式β（x）>λ（x）的方法：設(shè)β（x）-λ（x）=θ（x）為構(gòu)造的函數(shù)；求θ′（x），并在給出的區(qū)間內(nèi)證出θ′（x）≥0且θ′（x）=0的點(diǎn)；在去掉θ′（x）=0的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間，即得證β（x）>λ（x）。

例1：證明不等式x-■0.

證明：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，g（x）=x-■-ln（x+1）.

（2）求f′（x）和g′（x）并判斷其符號(hào).

當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=■-1=■≤0，且只當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，所以f（x）在（0，+∞）上是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，則對？坌x>0，有f（x）0，有g(shù)（x）0.

二、用最值法證明

利用最法證明不等式是較為簡單的一種方法，以下從單值變量和多值變量兩種情況進(jìn)行分析。

1.單值變量

要證明f（x）≤M（a

具體思路：先求出f′（x）在（a，b）內(nèi)的駐點(diǎn)xi（1≤i≤m），驗(yàn)證f（xi）≤M；再討論函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f（a）、f（b）≤M（當(dāng)a=-∞或b=+∞時(shí)，f（a）或f（b）理解為極限）。

同理，如果f（x）≥M（a

例2：證明：當(dāng)x∈[0，1]，p>1時(shí)，21-p≤xp+（1-x）p≤1.

分析：因?yàn)橐C明不等式實(shí)際是21-p和1分別為函數(shù)xp+（1-x）p在[0，1]上的下界和上界，所以可以討論函數(shù)在[a，b]上的最小值和最大值。

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=xp+（1-x）p在[0，1]上連續(xù)，則其一定有最小值和最大值。對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，有f′（x）=pxp-1+p（1-x）p-1.從而得到函數(shù)唯一的駐點(diǎn)x=■，并且f（■）=21-p.又因?yàn)閒（0）=f（1）=1>f（■），所以■f（x）=1，■f（x）=21-p由此可知21-p≤f（x）≤1，即得所要證明不等式21-p≤xp+（1-x）p≤1.

2.多值變量

在證明不等式中，適當(dāng)選擇目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的限制條件，應(yīng)用求多元函數(shù)的條件極值的方法證明，將其中的某些變量作為常量轉(zhuǎn)換為一元不等式或者利用拉格朗日乘數(shù)進(jìn)行證明，即得證。

（1）轉(zhuǎn)換為一元不等式

例3：證明不等式■≥（■）n，其中n≥1，x≥0，y≥0.

證明：設(shè)目標(biāo)函數(shù)為f（x）=■-（■）n，則f′（x）=■-■有唯一的零點(diǎn)y，并且f（y）=0，因此f（x）≥f（y）=0，即■≥（■）n.

（2）利用拉格朗日乘數(shù)進(jìn)行證明

在多元函數(shù)中，有許多問題是在一定條件下進(jìn)行討論的，那么對于有多個(gè)變量的不等式而言，也可以看成是帶有條件的函數(shù)極值問題，從而可以利用拉格朗日乘數(shù)進(jìn)行證明。

例4：證明不等式x21+x22+…+x2n≥■，其中xi>0，i=1，2，…，n

證明：設(shè)函數(shù)f（x1+x2+…+xn）=x21+x22+…+x2n，求在條件x1+x2+…+xn=X下的最小值。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法，做輔助函數(shù)如下：

L（x1+x2+…+xn）=x21+x22+…+x2n+η（x1+x2+…+xn-C），

則■=2x1+η=0，…，■=2xn+η=0，

由此解得x1=x2=…+=xn，將此代入條件解得x1=x2=…=xn=■.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x1，x2，…，xn）只存在最小值，故在點(diǎn)f（■，■，…，■）處取得最小值，即f（x1，x2，…，xn）=x21+x22+…+x2n≥■，

從而x21+x22+…+x2n≥■=■，

所以x21+x22+…+x2n≥■.

三、用微分中值定理證明

1.利用柯西中值定理證明

柯西中值定理：如果函數(shù)f（x），g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）在（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得■=■.

柯西中值定理是研究兩個(gè)函數(shù)f（x），g（x）的變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個(gè)函數(shù)（不妨設(shè)此函數(shù)為g（x））取作自柯西中值定理變量自身時(shí)它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來證明，反之則不然。

例5：設(shè)x>0，求證：|sinx|

證明：設(shè)f（t）=sint，g（t）=et，t∈[0，x]，f（x），g（x）在閉區(qū)間[0，x]上連續(xù)，在開區(qū)間（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（x）在（0，x）內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，那么柯西中值定理可得：■=■，ξ∈（0，x），即■=■，ξ∈（0，x），因?yàn)閑x-1>0，eξ>1>0，所以■=■<1，即|sinx|

2.利用拉格朗日中值定理證明

拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0，使得：

f′（x0）=■或f（b）-f（a）=f′（x0）（b-a）.

拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，即羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)f（a）=f（b）時(shí)的特殊情形。

拉格朗日中值定理也可以表述為以下形式：

（1）f（b）=f（a）+f′[a+λ（b-a）]（b-a），（0<λ<1）；

（2）若令b-a=h，則有f（a+h）-f（a）=f′（a+θh）·h，（0<θ<1）.

例6：（1）如果x>0，試證■

（2）求證：|arctgβ-arctgα|≤|β-α|.

證明：（1）令f（x）=ln（x+1），f（x）在區(qū)間[0，x]（x>0）上連續(xù)，在（0，x）（x>0）內(nèi)可導(dǎo)，應(yīng)用拉格朗日中值定理，則有l(wèi)n（x+1）-ln1=■，ξ∈（0，x）.

由于在閉區(qū)間[0，x]上，有■<■0）.

（2）當(dāng)α=β時(shí)，顯然等號(hào)成立.

當(dāng)α≠β時(shí)，不妨設(shè)α>β.設(shè)f（x）=arctgx，x∈（β，α），

由拉格朗日中值定理得，■=■，ξ∈（β，α）.

則有arctgα-arctgβ=■（α-β），

所以|arctgα-arctgβ|=|■（α-β）|≤|α-β|.

四、用拉格朗日余項(xiàng)泰勒公式證明

帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式：

若函數(shù)f在[a，b]上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a，b）內(nèi)存在（n+1）階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，x0∈[a，b]，至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+■（x-x0）n+1對于所給條件涉及到具有二階或者較高階導(dǎo)數(shù)的不等式，應(yīng)用泰勒公式的關(guān)鍵是確定關(guān)于哪一點(diǎn)求函數(shù)的展開式，進(jìn)一步通過對余項(xiàng)的估計(jì)來推出所需證明的不等式。

泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用：

如果函數(shù)f（x）的二階和二階以上導(dǎo)數(shù)存在且有界，利用泰勒公式證明這些不等式，證明步驟如下：

（1）構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f（x），選一個(gè)恰當(dāng)點(diǎn)x0將函數(shù)在該點(diǎn)進(jìn)行泰勒展式，然后寫出f（x）在x0處的帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式（該選擇在哪個(gè)點(diǎn)處展開，如端點(diǎn)、分點(diǎn)、零點(diǎn)、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)、拐點(diǎn)等）。

（2）根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小，函數(shù)的界或三角形不等式對ξ∈（a，b）進(jìn)行放縮。

例7：當(dāng)x≥0時(shí)，證明sinx≥x-■x3.

證明：由于sinx=x-■+■+…+（-1）n-1■+o（x2n），

取f（x）=sinx-x+■x3，x0=0，

則f（0）=0，f′（0）=0，fn（0）=0，fm（x）=1-cosx，fm（0）≥0，

代入泰勒公式，其中n=3，得f（x）=0+0+0+■x3，其中ξ∈（0，1）.■x3≥0，故當(dāng)x≥0時(shí)，sinx≥x-■x3.

不等式證明可以采納多種證明方法，每一種方法具有一定的適用性，可以總結(jié)歸納出其中的規(guī)律，靈活應(yīng)用，證明步驟熟練掌握，遇到具體問題還得具體分析。

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