領會數學思想 感悟解題方法 實現問題轉化

徐輝

【摘要】 數學思想方法是數學基礎知識、基本技能的本質體現.本文就解三角形中常用的數學思想：方程數學、轉化數學、分類思想以及數形結合進行歸納介紹，期望對一線教師的教學有所幫助，給中考復習備考的學生一些啟迪.

【關鍵詞】 解直角三角形；數學思想方法

一、方程思想

方程思想，是指將所研究的數學問題中已知量與未知量之間的數量關系轉化為方程（或方程組），從而解決問題. 方程思想在解直角三角形的題目中起著很大的作用，當不能利用直角三角形的邊角關系直接求解時，可通過設未知數，利用已知條件及有關性質、定理等，建立方程（或方程組）求解.

例1 如圖1，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊D的俯角為45°，又知河寬CD為50米，現需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求纜繩AC的長.（結果保留根號）

解 作AB⊥CD，交CD的延長線于點B.

∵ ∠ACB = ∠CAE = 30°，∠ADB = ∠EAD = 45°，

∴ AC = 2AB，DB = AB.

設AB = x，則BD = x，AC = 2x，CB = 50 + x.

∵ tan∠ACB = ■，∴ AB = BC·tan 30°，

∴ x = ■（50 + x），解之得x = 25（1 + ■）.

∴ AC = 50（1 + ■）米.

即纜繩AC的長為50（1 + ■）米.

點評 此題首先需要進行數學模型的構造，構造出Rt△ABC和Rt△ABD，然后利用三角函數列方程求解，體現了“數形結合思想”和“方程思想”.

二、轉化思想

轉化思想是解數學問題的一種常見的、重要的策略方法，將未解的問題轉化成已有知識范圍內可解的問題，從而揭示出未知與已知間的內在聯系，將復雜問題簡單化，使問題得以解決.

1. 化解斜三角形問題為解直角三角形問題

例2 如圖2，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個觀測站，A在B的正東方向，AB = 2（單位：千米）.有一艘小船在點P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向.

（1）求點P到海岸線l的距離；

（2）小船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向.求點C與點B之間的距離.（上述兩小題的結果都保留根號）

答：廣告牌CD高約2.7米.

點評 此題綜合考查了仰角、坡度的定義，通過添輔助線能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵.

三、分類思想

分類討論是中學數學的重要思想，它對于訓練學生思維的條理性和深刻性有著重要的作用.在分類討論時，我們把一個數學問題的研究對象按一定的標準分為幾個部分或幾種情況，化整為零，一一解決，實際上就是“分而治之，各個擊破”的策略.在幾何問題中，由于圖形中點、線位置的不同，可能產生不同的情形或位置關系，使得所求問題有幾種不同的結果，因而解答過程必須進行分類討論.

分析 顯然在解題之前我們需要把已知的文字條件通過畫圖轉化為圖形.從條件可以看出，已知條件給出的是邊、邊、角.而這三個條件是無法確定一個三角形的，所以我們要分類討論.

解 分高CD在△ABC內及外兩種情況計算：

如圖6，高CD在△ABC內，

點評 本例明是求三角形的面積，實質是求AB邊上高的問題，根據解斜三角形的添線經驗，我們可以通過作垂線，把問題進一步轉化為解直角三角形的問題.但由于AB的長不確定，因此，△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，盡管高CD的長度是定值，但是其面積隨AB長的變化而變化，所以，解答過程必須進行分類討論. 當然，解直角三角形的問題，除了應用到上述數學思想外，我們還常常會用到其他的方法.

四、數形結合

數形結合是數學解題中常用的思想方法，用數形結合方法可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，能夠變抽象的數學語言為直觀的圖形，變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.有一些文字解答題，單從文字上去理解解讀，學生會有一定的困難，若將文字條件轉化為圖像，結合圖像再來解答，那么問題就變得非常簡單直觀.在解直角三角形的問題中，這類問題很多.

點評 本題是最基本的解直角三角形問題，學生只需要根據條件畫出圖形，直接根據三角函數的定義便可求得.數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系分析其代數含義，又揭示其幾何直觀，使數量關系與空間形式和諧地結合在一起的方法. “數”與“形”之間密不可分，它們相互轉化，相輔相成.

數學思想方法是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識化為能力的橋梁，是培養數學觀念，促成創新思維的關鍵.因此，我們切不能忽視數學思想與方法，在教學的各個環節中要及時滲透數學思想與方法，有效提高數學教學質量和學生的素養.