淺談在教學中促進學生數學思維發展

樸永梅

學生的智力結構以思維能力為核心，數學教學的過程不能僅僅理解為向學生傳授知識，而應培養學生的數學思維能力，數學教學的實質是數學思維活動過程的教學. 教師與學生的交往、互動，師生雙方的相互交流、相互溝通、相互啟發，在這個過程中教師與學生分享彼此的思考、經驗和知識，交流彼此的情感、體驗與觀念，豐富教學內容，求得新的發現，從而達成共識、共享、共進，實現教學相長和共同發展.

一、教師以鼓勵的態度關注學生數學思維發展

教學中教師要照顧到學生的實際情況（即基礎），鼓勵學生自省，覺察學生的思維困難之處，幫助把新知識與已學過的知識相聯系. 根據布魯納的認識發展理論，學習本身是一種認識過程，在這個過程中，個體的學習總是要通過已知的內部認知結構，對“從外到內”的輸入信息進行整理加工，以一種易于掌握的形式加以儲存，也就是說，學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發生積極的相互作用和聯系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識.

例如：不等式■ ≥ ■（定理：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數）的證明. ① 與圓的知識相聯系：以a + b長的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C，使AC = a，CB = b，由Rt△ACD∽Rt△DCB得到不等式. ② 與數列的知識相聯系：把■看作是正數a，b的等差中項，■看作是正數a，b的等比中項.

華羅庚教授曾說過：不要只給學生看做好了的飯，更要讓學生看做飯的過程. 數學教學要設法使課本知識“活”起來，課堂教學不是堆砌知識的積木，而是用一系列的思維活動把知識貫穿起來，使學生真正領會到數學知識深化發展的動態過程. 特別對學生容易出錯的地方，差錯人皆有之，教師要讓學生充分“暴露問題”，然后順其錯誤認真剖析，發現學生思維的閃光點和創造性思維的火花，在加深理解的基礎上對不同的答案展開討論，引導動手操作、自主探索和合作交流，學生在這種氛圍中，接觸困惑，明確自己的思想，并且有機會分享學生的想法，在親身體驗和探索中認識數學，解決問題，理解和掌握基本的數學知識、技能和方法，疏導思維，學生可以大膽表達自己的想法，思想顧慮消除了，思維也就可以更活躍.

二、利用圖形演示直觀發展數學思維

《義務教育課程標準》中指出：“學生將探索基本圖形（直線形、圓）的基礎性質及相互關系，進一步豐富對空間圖形的認識和感受，學習平移、旋轉、對稱的基本性質，欣賞并體驗交換在現實生活中的廣泛應用，學習運用坐標系確定物體的位置的方法，發展空間觀念. ”“推理與論證的學習主要從以下幾個方面展開：在探索圖形性質、與他人合作交流等活動過程中，發展合情推理，進一步學習有條理的思考與表達；在積累了一定的活動經驗與掌握了一定的圖形性質的基礎上，從幾個基本事實出發，證明一些有關三角形、四邊形的基本性質，從而體會證明的必要性，理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式，初步感受公理化思想. ”注意數形結合，把數轉化為形，變抽象為直觀.

例如：教學不等式這堂課，以2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案引入，本屆大會會標的設計基礎是公元3世紀中國數學家趙爽的弦圖.

根據圖形特點和直角三角形的勾股定理，通過運算得到基礎不等式a2 + b2 ≥ 2ab，以幾何畫板演示量與量之間的關系，直觀明白不等式中“當且僅當b = a時不等號取‘=號”的意義.

蘇聯心理學家達維多夫認為，培養學生數學能力從具體導向抽象更為有效. 日本的杉原一昭說，數學教學實際上是從具體到抽象的教學，這種教學不只是簡單地從實物到符號，而是經過實物—外部言語—內部言語幾個階段的. 并且，數學的直線、圖表等也被賦予實物和符號的中間位置. 王仲春教授認為：“數學思維是指人類關于數學對象的理性認識過程，包括應用數學工具解決各種實際問題的思考過程. ”例如：探究函數y = Asin（ωx + φ）的圖像中φ、ω、A對圖像的影響，以幾何畫板演示動圖說明三個變量變化，原有圖形是如何變化的，學生在做這方面問題時，頭腦中就有了直觀印象，不用機械記憶它們的規律.

三、課堂教學上強調學生思維的整合

著名的數學教育家喬治·波利亞曾主張“教會學生思考”，將“有益的思考方式和思維習慣”放在數學教學的主要位置，教給學生死板的知識，還不如教給學生生動活潑的思維方法. 例如：（1）收斂數列一定有界，可有界數列不一定都收斂. （2）無窮小量的極限等于零，或說零是無窮小量，但并不等于無窮小就是零. 還要根據教學實際，及時引導學生把所學的知識加以組織整理，使知識逐步完善、系統化，并找出規律性的東西. 如在公式和法則的學習中，要指導學生注意公式的運用范圍、公式的來龍去脈以及相關公式之間的邏輯體系，例如：三角函數的和角公式、倍角公式、半角公式、和差化積公式、積化和差公式等，構成了一個邏輯關系緊密的公式體系，記住了和角公式，其他公式都可以由此推導出來.

在教學中既要注意使知識在層次上不斷深化，幫助學生把新知識及時納入已有的知識體系，特別要注意數學知識之間的關系和聯系，逐步形成和擴充知識結構系統，有意識地啟發引導學生從不同的方向，變換思維角度進行廣泛的探索與求解，融會貫通知識，探尋到最簡、最優的解決問題的方法，也有利于培養學生的思維容易變通. 又如，“求證：兩條平行線a，b和同一平面α所成的角相等. ”因為直線與平面由于位置關系的不同，所成的角有不同的定義方式，當證明時應按不同的位置關系分層討論，教師要明確指導學生數學思考要仔細分析，分類討論不能重復、不能遺漏，分層次、不越級討論，思維活躍的同時，避免沒有條理 .

四、正確領會題意引導合情推理發展學生數學思維

現在是“應試教育”，不能題海戰術，而是每做一題理解其意思，進而思維活躍，能從一題可以衍生出很多題，很多思維方法、思路.

思維能力在解題過程中的表現就是學生思維活動的反映. 思維能力在解題過程中主要表現在三個方面：其一是能正確領會題意，明確解題目標；其二是能尋找到實現解題目標的方向和合適的解題步驟；其三是能通過合乎邏輯的推理和運算，正確地表述解題過程. 正確地領會題意，明確解題目標，是開展思維活動的前提.

例如：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個角的平分線上.

即：已知∠BAC在平面α內，點P？埸α，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E，F，O，PE = PF，求證：∠BAO = ∠CAO.

變式：經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜射線，設它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，求證這條斜射線在平面內的射影是這個角的平分線. 改變題型，制作變式，學生在不同的類型題中注意到在應用三垂線時，一定要先確定出定理所必需的幾個元素：一找平面，二定垂線，三找斜線，則射影自見，可熟練掌握三垂線定理與逆定理，不斷深化對定理的認識.

五、日常生活中積累經驗，培養數學思維

20世紀下半葉以來，數學應用的巨大發展是數學發展的顯著特征之一. 當今知識經濟時代，數學正在從幕后走向臺前，數學和計算機技術的結合使得數學能夠在許多方面直接為社會創造價值，同時，也為數學發展開拓了廣闊的前景.

例如：以物理實驗中的現象引入，簡諧運動中單擺對平衡位置的位移y與時間x的關系、交流電的電流y與時間x的關系等都是形如y = Asin（ωx + φ）的函數（其中A，ω，φ都是常數）. 圖7是某次實驗測得的交流電的電流y隨時間x變化的圖像，將測得的圖像放大如圖8，可以看出它和正弦曲線很相似，由此引出課堂內容.

在有關內容的教學中，直接應用數學知識解決了一些簡單問題. 例如，運用函數、數列、不等式、統計等知識直接解決問題，函數可表示一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系，也可顯示人口數量的變化規律等. 也有通過數學建模活動引導學生從實際情境中發現問題，并歸結為數學模型，嘗試用數學知識和方法去解決問題.

此題可綜合考查數列、函數、不等式、解析幾何等基礎知識，同時也可以考查方程思想、分類討論思想等重要數學思想方法.

教師要不斷加強自身的學習和提高，不斷提升自己的學科或領域知識、能力水平，學習加工學科或領域發展史上推動學科或領域發展的問題，深入理解探究教學的本質，掌握一些教學方法和技巧，還要掌握豐富的教育學與心理學知識.