淺談數形結合法在微積分教學中的應用

聞卉 鄭列

【摘要】 通過數形結合法引進微積分中值定理，將抽象難懂證明技巧較高的三大定理以一種直觀的形象擺在學生面前，再對圖形進行分析建立簡單的數學模型，便得到了三大定理的數學語言上的描述.學生在參與建立模型的過程中可以充分體會到數形結合法的優點，有助于培養學生分析問題的能力和創新能力.

【關鍵詞】 數形結合法；微積分中值定理；圖形；數學模型

1.引言

數形結合法是一種重要的數學方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.在微積分的教學中，微積分中值定理是教學中的難點，定理很重要，但抽象難懂，證明技巧較高.微積分的授課對象一般都是文科生，他們往往喜歡直觀具體的問題，害怕抽象深奧的問題，掌握這三個抽象的微分中值定理有一定的難度.針對這個現象，借助數形結合法的優點，通過數形結合法引進微積分中值定理，將抽象難懂證明技巧較高的三大定理以一種直觀的形象擺在學生面前，再對圖形進行分析建立簡單的數學模型，便得到了三大定理的數學語言上的描述.學生在參與建立模型的過程中可以充分體會到數形結合法的優點，有助于培養學生分析問題的能力和創新能力.與此同時，這種直觀的圖形有助于學生牢記三大定理，激發學生的學習積極性，從而達到教學的要求.

2.實例

首先在黑板上描繪下面指定函數的圖形：函數曲線y=f（x）是一條以A= a，f（a） ，B= b，f（b） 為端點的連續曲線弧段，其中f（a）=f（b）.然后引導學生分析，這樣的曲線弧的具體位置與對應法則有關系.無論對應法則怎么變，曲線弧兩端點的連線（簡記為弦AB）始終平行于x軸，除了端點A，B外，處處有不垂直于x軸的切線.進一步觀察發現一結論：在曲線弧上至少能找到一點C，坐標為（ξ，f（ξ）），使得該點處曲線

的切線平行于弦AB.這就是我們建立的數學模型.利用導數和連續性的幾何意義，我們

把這一數學模型的特征用數學語言貓述便得到了微分中值定理的第一個定理（即羅爾定理）的前提條件和結論.

定理1：（羅爾定理）若函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）

上可導；（3）f（a）=f（b），則至少ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0.

該定理板書完畢，可以向學生提一個問題：“若定理1的條件（3）不成立，會得到一個什么樣的圖形以及與之對應的定理怎樣改寫？”提醒學生條件（3）能保證弦AB平行于x軸.條件（3）不成立，則弦AB是傾斜直線段.在黑板描繪出相應圖形，引導學生寫出弦AB的斜率.進一步觀察發現同一結論：在曲線弧上至少能找到一點C，坐標為（ξ，f（ξ）），使得該點處曲線的切線平行于弦AB.于是學生在老師的引導下立刻寫出了微分中值定理的第二個定理（即拉格朗日中值定理）的前提條件和結論.

定理2：（拉格朗日中值定理）若函數f（x）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）上可導，則至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） b-a =f′（ξ）.

該定理板書完畢，向學生強調一下，該定理對應的圖形是建立在xy平面上的直角坐標系下，并且曲線弧的函數是顯示函數y=f（x）.繼續向學生提一個問題：“若曲線弧的函數不是顯示函數y=f（x），而是由參數方程x=F（t），y=f（t），（a≤t≤b）給定，在xy平面上的直角坐標系下會得到一個什么樣的圖形？與之對應的定理怎樣改寫？”通過討論在黑板上描繪出相應的圖形.學生驚喜地發現圖形表面上看與定理2的圖形一致，只不過曲線弧上的點表示方法復雜些，都與參數t聯系在一起，比如端點A=（F（a），f（a）），B=（F（b），f（b）），學生馬上就寫出弦AB的斜率.并且給出了同一結論：在曲線弧上至少能找到一點C（設對應的參數t=ξ），坐標為（F（ξ），f（ξ）），使得該點處曲線的切線平行于弦AB.利用參數方程的求導公式可以寫出過C點處曲線的切線的斜率，如是便得到微分中值定理的第三個定理（即柯西中值定理）的前提條件和結論.

定理3：（柯西中值定理）若函數f（t），F（t）滿足：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）上可導，且F′（t）在（a，b）內不為零，則至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） F（b）-F（a） = f′（ξ） F′（ξ） .

該定理板書完畢，要求學生分析三個定理的聯系.學生很快就反應過來，柯西中值定理和拉格朗日中值定理本是一回事，只不過是曲線弧的函數表示式一個是顯示表示，另一個是參數方程表示，弦AB一般是傾斜直線段.若將弦AB拉成水平直線段，則得到羅爾定理.這一結論可以編成口訣“柯西拉格朗日一回事，羅爾是特例，斜率要相等”.然會再跟學生講解三個定理的應用.

3.結語

本文針對微積分教學過程中學生普遍存在的難點，通過數形結合法引進微積分中值定理，將抽象難懂的三大定理以一種直觀的形象擺在學生面前，再對圖形進行分析建立簡單的數學模型，得到三大重要定理，并且通過圖形總結它們之間的聯系.學生在參與建立數學模型的過程中可以充分體會到數形結合法的優點，激發學生的學習積極性，有助于培養學生分析問題的能力和創新能力，從而達到教學的目的.

【參考文獻】

[1]蔡光興，李德宜.微積分[M].北京：科學出版社，2008.

[2]尹水仿，方瑛.高等數學應用與提高[M].北京：科學出版社，2011.

[3]李逢高，鄭列，等.高等數學應用與提高[M].北京：科學出版社，2009.

[4]同濟大學數學系.高等數學（下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.