利用數形結合方法解決數學問題

谷奎林

中職數學教學中，在學習關于“三次函數”的練習中以及考試中發現許多學生掌握得不好，通過和學生進行交流，知道幾乎沒有學生對這種題的圖像進行過關注. 因此，在教學中發現許多關于導數的例題和習題若借助該例題的圖像去講、去分析，會讓學生掌握得更容易. 于是我決定在復習中運用一節課的時間師生一起研討三次函數的圖像以及由圖像得到三次函數的性質，讓學生由三次函數圖像“之美”感悟到學習“之樂”.

例題1 （2011年江蘇19）已知a，b是實數，函數f（x） = x3 + ax，g（x） = x2 + bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的導函數，若f′（x）g′（x） ≥ 0在區間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區間I上單調性一致.

（1）設a > 0，若函數f（x）和g（x）在區間[-1，+∞）上單調性一致，求實數b的取值范圍；

（2）設a < 0，且a ≠ b，若函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a - b|的最大值.

這個題是我們曾經做過的江蘇高考題，第（1）問基本上每名學生都會做，第（2）問許多學生看高考的標準答案——從代數角度將其轉化為f′（x）g′（x） ≥ 0在區間（a，b）上恒成立感到有困難. 我們現在運用三次函數的圖像和二次函數的圖像再次探討2011年江蘇高考19題的第（2）問，也許能找到解決問題的突破口. 幾分鐘過去了，大部分學生正確作出了兩個函數的草圖，題意告訴我們兩個函數在區間（a，b）上的單調性相同，又過了幾分鐘許多學生在共同的探討中由圖像得到了相應的不等式組.

借助圖形，則能較好地找到解決問題的突破口.具體如下：由于a < 0，所以函數f（x） = x3 + ax和g（x） = x2 + bx的圖像大致為：

因為函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，所以若同增，則有

a < b ≤ - - ≤ a < b（不可能，兩個不等式中b的符號矛盾）

或 ≤ a < b- ≤ a < b（也不可能，因為題設要求a < 0）.

所以函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上必定單調遞減，則有

- ≤ a < b≤ ， a < b ≤ - ，

解得- ≤ a < 0，a < b ≤ 0.所以|a - b|的最大值為 .

大部分學生看后發出感嘆：數形結合思想在解決數學問題中真能啟發我們的思路，原來數學不是我們想象的那么難. 例題2 已知函數f（x） = x3 - 3x，設h（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，求函數y = h（x）的零點個數. （2012年江蘇18題改編）

代數解法很顯然有較大局限性，而圖形的直觀性，則發揮出其獨特的作用.具體如下：

根據條件可知：

因為h（x） = f（f（x）） - c，其中c∈[-2，2]，那么求函數y = h（x）的零點個數，就是求滿足f（f（x）） = c的實數x的個數，即求y = f（f（x））與y = c的交點個數.先看y = f（x）與y = c的交點情況，當c = 2時，y = f（x）與y = c有兩個交點（圖3），所以滿足f（f（x）） = 2即滿足f（x） = -1或f（x） = 2，而滿足f（x） = -1或f（x） = 2的實數x共有五個（圖4），即此時函數y = h（x）的零點個數為5；同理，當c = -2時，函數y = h（x）的零點個數也為5.

當-2 < c < 2時，解法依舊，從圖像上可以看出，滿足f（f（x）） = c的就是滿足f（x） = x1，或f（x） = x2，或f（x） = x3（圖5），由于xi（i = 1，2，3）均在區間（-2，2）內，且各不相同，所以直線y = xi（i = 1，2，3）與y = f（x）各有三個的交點，共9個交點（圖6），故此時函數y = h（x）的零點個數為9.

我在講解的過程中發現一部分學生能較輕松地聽懂，一部分學生剛看到此題緊皺眉頭，慢慢地聽我一邊展示圖像一邊講解，猛然間臉上露出了基本懂了的微笑，我正準備請學生把該題如何運用由“形”轉化到“數”的過程講述一遍時，下課的鈴聲正好響了.

在上完該課后，我發現只要與三次函數相關的題目或者求導后導數等于零的方程有兩個不等根的題目，大部分學生養成先做三次函數的草圖，再由圖像找到解決問題的方法.