函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

何學(xué)燕

【摘要】 函數(shù)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，函數(shù)思想是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思想，而函數(shù)思想方法則是解決數(shù)學(xué)問題的重要方法. 本文探討利用函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)；函數(shù)思想方法；初中數(shù)學(xué)

函數(shù)概念首先出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)課本. 初中課本對函數(shù)概念是這樣描述的：“設(shè)在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對于變量x的每一個(gè)確定的值，變量y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說，x是自變量，y是函數(shù).”

函數(shù)概念的出現(xiàn)，開始了變量數(shù)學(xué)的新起點(diǎn)，打破了在此之前的常量教學(xué)的舊格局，許許多多的數(shù)學(xué)問題都可以利用函數(shù)概念來解析，利用函數(shù)思想方法來處理. 甚至對于一些數(shù)學(xué)難題，一旦用上了函數(shù)思想方法，即迎刃而解，達(dá)到非常好的效果. 因此，我們必須十分重視函數(shù)概念的教學(xué)，重視函數(shù)思想方法的應(yīng)用.

一、函數(shù)思想方法的特性

函數(shù)思想方法就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式，把這種關(guān)系表示出來并加以研究，從而獲得問題的解決辦法. 函數(shù)思想方法作為中學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法，它具有以下特性：

1. 函數(shù)概念的抽象性引起函數(shù)思想方法的復(fù)雜性

函數(shù)概念體現(xiàn)了一個(gè)變量與另一個(gè)變量的一種對應(yīng)，也體現(xiàn)一個(gè)集合到另一個(gè)集合的一種映射，在初中數(shù)學(xué)來講，則是一個(gè)變數(shù)與另一個(gè)變數(shù)的一種關(guān)系. 什么叫對應(yīng)，什么叫映射，什么叫關(guān)系，對初中生來說，是非常陌生的，這些抽象詞匯，造成了學(xué)生對函數(shù)概念理解上的困難. 因此，函數(shù)思想方法作為函數(shù)概念的外延，就顯得非常復(fù)雜了. 一個(gè)連函數(shù)概念都不理解的人，怎么能掌握函數(shù)思想方法呢？函數(shù)與圖像的親密對應(yīng)，引發(fā)了數(shù)形結(jié)合方法，函數(shù)的等價(jià)變換，引發(fā)了化歸思想方法，如換元法、配方法、綜合法、分析法等. 正確認(rèn)識(shí)函數(shù)思想方法的復(fù)雜性，可使教師更加重視函數(shù)概念的教學(xué)，更加重視函數(shù)思想方法的研究，提高教學(xué)的責(zé)任心.

2. 函數(shù)概念的生活性引起函數(shù)思想方法的廣闊性

函數(shù)概念雖然很抽象，但函數(shù)的具體應(yīng)用充滿著生活空間. 可以說，我們的生活離不開函數(shù)，我們的每一個(gè)生產(chǎn)活動(dòng)也離不開函數(shù)，許多關(guān)于數(shù)量的科學(xué)研究問題，只有引入函數(shù)才能表達(dá)清楚. 生活中的每一個(gè)問題，只要引入變量，就可以與函數(shù)聯(lián)系起來，而函數(shù)的變化千姿百態(tài)，于是，就產(chǎn)生了千姿百態(tài)的函數(shù)思想方法. 例如初中數(shù)學(xué)的路程問題、濃度問題、生產(chǎn)中的增產(chǎn)節(jié)支問題、生產(chǎn)的成本核算問題、一次方程和二次方程的解法問題、一次不等式和二次不等式的求解問題、解三角形問題、面積問題、體積問題等，都可以引入變量，將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題. 這一轉(zhuǎn)變，便使人們的函數(shù)思想方法打開了廣闊的前景，解決起問題來也就左右逢源.

二、函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)概念的靈魂，函數(shù)思想方法是數(shù)學(xué)方法的主線，它能把數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)原則、數(shù)學(xué)方法貫穿起來，使得數(shù)學(xué)內(nèi)容達(dá)到更高層次的和諧與統(tǒng)一. 因此，函數(shù)概念和函數(shù)思想方法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起到了統(tǒng)帥的作用. 數(shù)學(xué)教師若能抓住函數(shù)思想方法這條主線，再把其他思想方法連貫起來，應(yīng)用于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，可以肯定地說，教學(xué)效果會(huì)是很好的. 我們在這方面作了一些有價(jià)值的探索. 1. 函數(shù)思想方法應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程

函數(shù)的概念是動(dòng)態(tài)的概念，函數(shù)思想方法是一種動(dòng)態(tài)的思想方法，這正符合動(dòng)態(tài)式的數(shù)學(xué)教學(xué)的要求. 引進(jìn)函數(shù)概念之后，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與點(diǎn)的結(jié)合、函數(shù)與圖形的結(jié)合，還實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的靈活轉(zhuǎn)換，符號(hào)語言與圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換. 我們要幫助學(xué)生從局部的、靜止的、割裂的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中解放出來，學(xué)會(huì)運(yùn)用動(dòng)態(tài)的、變化的、聯(lián)系的觀點(diǎn)來理解數(shù)學(xué)知識(shí)，這乃是提高數(shù)學(xué)質(zhì)量的重要途徑. 正是考慮到動(dòng)態(tài)教學(xué)的新理念，于是，應(yīng)該把體現(xiàn)動(dòng)態(tài)思想方法的函數(shù)思想方法應(yīng)用于教學(xué)的全過程，在課堂教學(xué)、課外作業(yè)、科研輔導(dǎo)等教學(xué)環(huán)節(jié)，只要能用函數(shù)思想方法來處理的，都應(yīng)運(yùn)用. 這需要毅力，需要?jiǎng)?chuàng)造，需要教師從現(xiàn)有教材中挖掘與函數(shù)概念有關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，然后考慮運(yùn)用函數(shù)思想方法解決它.

2. 函數(shù)思想方法應(yīng)用于解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題

我們的生活空間是一個(gè)巨大的數(shù)學(xué)空間，生活中的每一個(gè)實(shí)際問題大都能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，其中相當(dāng)大的部分可以用函數(shù)思想方法來處理. 為了強(qiáng)化函數(shù)思想方法的應(yīng)用，更為了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想方法解決實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決身邊發(fā)生的經(jīng)濟(jì)問題，學(xué)會(huì)解決經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程中的一些社會(huì)問題，我們應(yīng)該努力創(chuàng)設(shè)良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中得到鍛煉.

例 某數(shù)學(xué)競賽隊(duì)3位指導(dǎo)教師和若干名參賽學(xué)生準(zhǔn)備乘飛機(jī)到北京參加全國性數(shù)學(xué)比賽，按當(dāng)?shù)仫w機(jī)票價(jià)，乘飛機(jī)往返每人需交3000元. 但民航服務(wù)站對師生乘坐飛機(jī)有臨時(shí)的優(yōu)惠規(guī)定：第一種優(yōu)惠方案——教師買全票，學(xué)生買半票；第二種優(yōu)惠方案——師生一律按六折優(yōu)惠購票. 你認(rèn)為，應(yīng)采取哪一種優(yōu)惠方案？

這是發(fā)生在學(xué)生身邊的與經(jīng)濟(jì)有關(guān)的生活問題，采取的方案，當(dāng)然應(yīng)以節(jié)約為原則，哪種方案能節(jié)約開支，就采取哪種方案. 然而，費(fèi)用與學(xué)生人數(shù)有關(guān)，能否建立函數(shù)呢？如果設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，兩種優(yōu)惠方案的費(fèi)用分別為y1和y2，則

y1 = 3000 × 3 + 1500x = 9000 + 1500x，

y2 = 3000 × 0.6 × （x + 3） = 1800 × （x + 3），

y1 < y2 ？圳 9000 + 1500x < 1800x + 5400 ？圳 x > 12，

y1 > y2 ？圳 9000 + 1500x > 1800x + 5400 ？圳 x < 12，

y1 = y2 ？圳 9000 + 1500x = 1800x + 5400 ？圳 x = 12.

當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于12人時(shí)，采取第一種優(yōu)惠方案；當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于12人時(shí)，采取第二種優(yōu)惠方案；當(dāng)學(xué)生人數(shù)等于12人時(shí)，采取哪種優(yōu)惠方案都可以，

函數(shù)思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中的確起到了非常重要的作用，我們應(yīng)加強(qiáng)這一方法的教學(xué)探討和學(xué)習(xí)訓(xùn)練，把數(shù)學(xué)教學(xué)推向新高度.