中學數學概念理解的有效策略

苗利波

【摘要】 數學理解已經成為繼“問題解決”之后世界數學教育所關心的中心話題. 數學理解是人們知識結構不斷發展、不斷完善的動態過程，是認知結構和知識意義的建構過程，數學理解體現了數學素養的普遍性、特殊性、動態性和發展性. 本文探討數學概念理解的有效途徑，進而揭示出數學理解和數學素養的本質關系.

【關鍵詞】 數學理解；數學素養；數學思維

世紀之初，世界各地的數學課程都經歷了改革，紛紛推出了面向未來的課程計劃，數學理解已經成為繼“問題解決”之后世界數學課程改革所關心的中心話題.

一、數學理解的內涵

數學理解通常有三個層面：第一，作為理論思維的數學，提供了理論思維的范式和完善的方法論，它是由人的思維構造的理論體系，其成果構成了其他自然科學的基礎；第二，作為技術應用的數學，數學已經由科學技術滲透到政治、經濟以及社會科學等各個領域；第三，作為文化素養的數學. 因為數學思維無處不在、無時不有，所以數學素養將陪伴人的一生. 本文從數學理解的內涵出發，通過尋求數學理解的思維發展、認知發展機制，探討數學理解的有效途徑，進而揭示出數學理解和數學素養的本質關系，以期為我國數學課程發展提供理論支撐和新的視野.

二、數學概念理解的有效策略

1. 操 作

按照弗賴登塔爾的觀點，教一個內容的最佳途徑是聯系學生的數學現實和生活現實，在將要傳授的知識與學生已經在現實世界中積累的知識和經驗之間、在將要傳授的知識與已經教過的知識之間建立起緊密的聯系，操作是建立聯系的最好路徑，假設數學的理解始于知覺、行動，成功的感知目標使得視覺空間表征的發展隨著幾何學中語言支持到視覺感悟的增長而發展；成功的行動目標運用靈活的符號表征，由算術和代數領域中的操作過程而形成思維概念. 認知結構由初級的數學思維成為高級的數學思維，經歷了數學發展的三個領域，通過知識內部的信息加工途徑，凝聚和多元化的表征方式及其轉換，通過操作，有效地使學生從非形式化的、算法的、直覺相互作用與矛盾中形成數學觀.

2. 信息加工途徑——凝聚

數學概念的雙重性又決定了數學思維、理解的雙重性. 理解性學習的有效方式是個體自我數學的建構和對自我知識的反思，由知覺到行動，到目標的轉化，也是由“過程”向“對象”的轉化，它構成了數學思維的基本形式——“凝聚”. 凝聚體現了數學的高度抽象性，即“是把已發現結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”. 以色列著名數學教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內化；（2）壓縮；（3）客體化. 其中，“內化”和“壓縮”可視為必要的準備. 前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進行反思. 我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物，原先的過程現在就變成了一個靜止的對象.

3. 表征方式的多元化

表征從廣義來講是指人腦內部的心智活動的表現，又可指思維活動的外在表現形式；從狹義來看，可以理解為表達數學關系的過程，即對數學關系的表示形式，用某種形式表達數學概念或關系的行為. 關于人類知識表現有三個不同表征類型：動作表征（物理過程），圖像表征（視覺），符號表征（抽象）.

在表征類型中，一個從本質上說是物理過程（動作表征），其他兩個是引出物理對象后的抽象過程（圖像表征，符號表征）. 圖像表征提出了一個更廣闊的“視覺空間”概念，這里面也包含了動作表征（例如，感知一個“連續”的曲線由負到正必須經過零）.

自然語言的發生始終貫穿于數學當中，使數學活動置于環境之中. 從視覺空間到符號推理的發展，自然語言成為描述圖像和明確敘述證明的工具. 它也可以用來描述數字的特性，例如，加法是可以交換的，因為它總是有獨立的順序（事實上，表象的變換比計算的過程更容易理解，它有效地利用了視覺與符號之間的聯系）. 符號是邏輯推理的需要. 數學符號是抽象的數學概念的具體表示，是數量關系的無聲名稱，是邏輯推理的物質承擔者，是數學形式簡化的最佳途徑. 符號在數學史上已證明是一種重要的探索工具，利用符號便于發現規律. 因此在實際教學中要注意概念和數學符號是密不可分的整體，讓學生真正明確符號代表的對象及其數學性質. 表征的三種類型從本質上說動作表征是物理過程，圖像表征和符號表征是引出物理對象后的抽象過程，它反映了個體從初級到高級數學思維的認知發展規律.

三、數學概念理解的特點

數學概念理解具有主動性. 學習者不是被動的信息接受者，他要對外部信息做主動的選擇和加工，學習過程中的核心認知活動是深層理解和高水平思維. 學生通過高水平的思維活動來學習，對各種信息和觀念進行加工轉換，基于新、舊知識進行綜合和概括，解釋有關的現象，形成新的假設和推論，并對自己的想法進行反思性的推敲和檢驗. 所以數學素養的形成是個體在已建立數學經驗基礎之上對數學感悟、反思和體驗的結果， 體現了數學素養個人建構的特殊性.

數學理解具有連續性和層次性. 每名學生都在以自己原有的知識經驗為基礎對新的信息進行編碼，建構自己的理解，在學生的原有認知結構中找到新知識的生長點，進而促進新知識的生長和建構，體現了數學素養的動態性.

數學理解具有反思性和創造性. 原有知識會受到新經驗的挑戰而發生調整和改變，所以學習并不簡單地是信息的量的積累，它同時包含由于新、舊經驗的沖突而引發的概念轉變和結構重組，認知沖突的引發和合理解決是導致知識建構的重要途徑. 學生要不斷監督自己對知識的理解程度，通過批判性思維來發展自己的見解，并在不斷沖突、創造過程中來發現數學，體現了數學素養的發展性.