構造法在初中數學解題中的應用

肖學仕

【摘要】 構造法是一種重要的數學解題方法，在解題中被廣泛應用. 構造法是一種極其富有技巧性和創造性的解題方法，特別是有些問題，用構造法更簡潔明了. 本文簡單闡述了構造法的概念，重點論述了構造法在初中數學解題中的運用. 【關鍵詞】 初中數學；構造法；解題法

構造法是根據題設的特點，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關系式為“支架”，通過觀察、聯想，采用新的設計，構造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法.

1. 構造函數

在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想組合一種新的函數關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段. 構造函數證（解）問題是一種創造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性，在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標.

例1 （八年下課本習題變式）某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A，B兩種產品，共50件. 已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元.

（1）按要求安排A，B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；

（2）設生產A，B兩種產品獲總利潤為y（元），生產A種產品x件，試寫出y與x之間的函數關系式，并利用函數的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

解 （1）設需要生產A種產品x件，那么需要生產B種產品（50 - x）件，由題意得：

9x + 4（50 - x） ≤ 360，

3x + 10（50 - x） ≤ 290，

解得：30 ≤ x ≤ 32.

∵ x是正整數，

∴ x = 30或31或32.

∴有三種生產方案：

① 生產A種產品30件，生產B種產品20件；

② 生產A種產品31件，生產B種產品19件；

③ 生產A種產品32件，生產B種產品18件.

（2）由題意得：y = 700x + 1200（50 - x） = -500x + 60000.

∵ y隨x的增大而減小，

∴ 當x = 30時，y有最大值，最大值為：y = 45000（元）.

答：y與x之間的函數關系式為：y = -500x + 60000，（1）中的方案①獲利最大，最大利潤為45000元.

2. 構造方程

根據問題條件中的數量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解. 如列方程解應用題、求動點的軌跡方程等即屬此法.

構造方程解題體現了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為三個步驟：

A. 將所面臨的問題轉化為方程問題；

B. 解這個方程或討論這個方程的有關性質（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；

C. 將方程的相應結論再返回為原問題的結論.

（1）某些題目根據條件，仔細觀察其特點，構造一個“一元一次方程”求解，從而獲得問題解決.

例2 設a > b > c且a + b + c = 1，a2 + b2 + c2 = 1，求a + b的范圍.

解 由a + b + c = 1得a + b = 1 - c.①

將①的兩邊平方并將a2 + b2 + c2 = 1代入得ab = c2 - c.②

由①②可知，a，b是方程x2 + （c - 1）x + （c2 - c） = 0的兩個不等的實根，

于是Δ = （c - 1）2 - 4（c2 - c） = -3c2 + 2c + 1 > 0，

解得：- < c < 1.

即：- < 1 - （a + b） < 1，

∴ 1 < a + b < .

（2）有些問題直接求解比較困難，但如果根據問題的特征，通過轉化，構造“一元二次方程”，再用根與系數的關系求解，使問題得到解決. 此方法簡明，功能獨特，應用比較廣泛，特別在數學競賽中的應用.

例3 已知實數x，y，z滿足x + y = 5，z2 = xy + y - 9，求x + 2y + 3z的值.

思考與分析 根據本題的題設可能使我們聯想到韋達定理，但仍需進行合理的變形，才能構造出方程組去求解.

解 由已知可得：（x + 1） + y = 6，

（x + y）y=z2 + 9.

以x + 1，y為兩實數根，構造方程t2 - 6t + z2 + 9 = 0.

∵方程有實數根，

∴ Δ = （-6）2 - 4（z2 + 9） = -4z2 ≥ 0，

由此得到z2 = 0，且Δ = 0.

∴ 方程t2 - 6t + 9 = 0有兩個相等的實數根，

∴ t1 = t2 = 3.

于是x + 1 = y = 3，

∴ x = 3，y = 3，z = 0.

∴ x + 2y + 3z = 2 + 2 × 3 + 0 = 8.

從以上各例不難看出，構造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決. 構造法解題重在“構造”， 通過仔細地觀察、分析，去發現問題的各個環節以及其中的聯系，從而為尋求解法創造條件. 因此，在解題時，若能啟發學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯想，就會得到許多構思巧妙、新穎獨特、簡潔有效的解題方法，而且能加強學生對知識的理解. 運用構造法解題能培養學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創新能力，也可從中欣賞數學之美，感受解題樂趣.