多變量金融時間序列的相空間重構理論研究多變量金融時間序列的相空間重構理論研究

劉智

[摘要]金融時間序列是金融市場這個復雜系統在演化過程中產生的離散輸出，根據觀測點的數量，金融時間序列可以分為單變量時間序列和多變量時間序列。在多維時間序列中，有些維度的時間序列之間存在較大的演化差異，從眾多的時間序列中挑選出這些對重構相空間提供貢獻較大的時間序列并完成重構則可以得到較好的重構和預測效果。采用多維金融時間序列重構金融市場這個復雜系統可能會得到更好的效果，此外使用多維時間序列也可以有效地減少噪聲對重構過程的影響。

[關鍵詞]金融時間序列；相空間重構；預測

[中圖分類號]TP311[文獻標識碼]A[文章編號]1005-6432（2014）43-0100-02

1引言

時間序列的預測問題已在各個領域得到廣泛關注，如生物信息學、神經信息學、金融工程、經濟學等。時間序列的最優預測非常重要，它會為決策者進行決策提供重要的參考信息。

行業指數與綜合指數都是證券市場這個復雜系統產生的時間序列，這些時間序列之間相互作用影響，一段時間內會出現相同趨勢的演化而另一時刻則會產生相互背離的演化。這種演化中的背離現象說明多個時間序列中所包含的復雜系統演化信息不同，因此利用多個行業指數時間序列進行證券市場的復雜系統重構應比簡單采用單一觀測量的重構更加貼近真實系統。

2多元時間序列的定義

現實中，多元時間序列以各種形式廣泛存在，現首先給出多元時間序列的數學定義。

一系列按照時間先后順序記錄的值S={vi（1）， vi（2）， …， vi（t）， …， vi（n）}稱為時間序列。其中t（t=1，2，…，n）表示時刻，i（i=1，2，…，m）表示變量，vi（t）表示第i個變量在t時刻上的記錄值當m>1時，S為多元時間序列（MTS）；此多元時間序列為確定性的數值類型的數據，可以用m×n矩陣表示，m為變量數，n為時間點數。

在多元時間序列中由于各變量間量綱等方面的差異，因此需先將數據正則化，以減少隨機波動干擾、降低算法計算復雜度。同時，為保證MTS相似的有效性和準確性對MTS數據集也有一定的初始要求，因此這里給出同構的MTS的定義，以限定研究對象范圍。

同構的MTS需要滿足以下三個要求：①對于MTS數據集，各序列的變量維數相同，變量之間一一對應且表示相同的含義；②對于某一MTS樣本，各變量數值的記錄時刻對應，且具有相同的時間粒度；③MTS需經正則化處理。

3多變量相空間重構參數的選取方法

在非線性多變量數據分析中，采用虛假鄰點法進行相空間重構是一種簡單易行的常用方法。該算法具有計算過程簡單、計算速度快等特點。虛假鄰點法是由 Kennel 等人提出的算法，該方法的基本思想是當嵌入維數m變成m+1時，考察信號xn的鄰點中哪些是真實的，哪些是虛假的鄰點，當沒有虛假鄰點時，可以認為幾何結構完全被打開，此時的m即為所求的最佳嵌入維數。設xn的最近鄰點為xη（n），當m1增大到m1+1時，重新計算兩個信號之間的距離并求與原距離之間的比值：

xη（n）+xn（m1…ml+1…mL）-xη（n）-xn（m1…ml…ML）xη（n）-xn（m1…ml…mL）≥σ0

如果距離變化的比值大于σ0，則xη（n）是xn的虛假鄰點。對于多維信號（m1，…，ml，…mL）從（1，…，1，…，1）開始，每次ml增加1，直到虛假鄰點的比例小于δ，則可以認為吸引子的幾何機構完全打開，此時的（m1，…，ml，…mL）為最佳嵌入維數。根據經驗通常預定義σ0=10，δ=5%。

4相空間重構

相空間重構理論是研究混沌理論的基礎。Takens和Packard 等人認為系統中任意一分量的演化都是由與之相互作用的其他分量所決定的。因此，這些相關分量的信息隱含在任意一個分量的發展過程中，重構系統相空間只需考察一個分量。

設X表示觀測到的混沌時間序列，x（t），t=1，2，…，n，根據Takens定理，進行相空間重構，則在狀態空間中重構后的狀態矢量可以表示為：Xi=（xi，xi+1，…，xi+（m-1）t）T（i=1，2，…，i+（m-1）t），其中i+（m-1）是重構相空間中的相點個數，t是延遲時間，m是嵌入維數。Takens 證明了可以找到一個合適的嵌入維數，即如果延遲坐標的維數m≥2d+1，d是動力系統的維數，在這個嵌入維空間里就可以把吸引子恢復出來。

5復雜非線性時間序列預測

結構復雜的非線性數據，不適宜從數據特性出發分析建模，而唯象預測方法就不關心數據本身所具有的特性，只是利用現存歷史數據去逼近模型進而預測未來。1989 年 Billings 等人提出的非線性自回歸滑動平均（NARMA）模型，具有形式簡潔、高度概括等特點。

主要建模步驟如下：

（1）對時間序列進行零均值平穩化處理。時間序列一般可分為平穩時間序列和趨勢性序列。時間序列的趨勢又分為線性趨勢和非線性趨勢。若時間序列為非平穩序列，具有向下或向上的趨勢，建模之前需要進行序列平穩化處理，即零均值化、平穩化處理。

（2）逐漸增加模型階數，擬合ARMA（n，n-1）模型。即一階、一階增加模型階數，模型參數采用非線性最小二乘法估計，具體算法采用最速下降法。選擇殘差序列最小方差對應的模型作為初選模型。

（3）模型適應性檢驗。

（4）求最優模型。系統意義上的最優模型不僅是一個適應模型，而且是一個經濟的模型。因此還需要檢驗模型是否包含小參數，若有，可用F檢驗判斷是否可以刪去，擬合較低階模型，進而得到系統意義上的最優模型。

（5）時間序列預測。

6問題與展望

基于非線性動力學的時間序列分析和預測技術的主要支撐理論是20世紀80年代初PTakens和RMane提出的相空間延遲重構技術，這一方法后來由 TSaner等作了完善和推廣。實際環境中，對復雜系統的觀測時間序列通常是有限長的，甚至很短，具有噪聲，而另一方面觀測時間序列是同時產生的多維時間序列，這些時間序列中可能包含大量的冗余信息也可能包含著十分有用的復雜系統演化信息。本文研究無疑能為金融機構與投資者深入認識金融市場規律、有效地進行金融管理、提高金融投融資效率等提供新的數量技術支撐，對促進金融市場技術分析理論與方法的創新和發展具有重要的理論與現實意義。

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（上接P99）

根據上圖，該體系框架自上而下共分為目標層、準則層、方案層和指標層四個層次。其中，最高層是企業戰略目標層，即追求企業EVA最大化；第二層是準則層，以BSC的財務、顧客、內部業務流程、學習與成長四個維度作為實現戰略目標的準則；第三層是方案層，通過具體措施的事實保證四個維度策略的執行；最后一層是指標層，利用具體的業績評價指標對措施執行的效果進行衡量。在實施過程中，企業可以結合自身實際情況，對具體指標進行挑選和組合，并對相應指標進行權重設計，從而能夠有效的實現企業戰略業績評價。