淺談高中數學“解三角形”的實踐與思考

陳海燕

摘 要：解三角形是對任意三角形邊角關系的探索，在一些測量和幾何計算中具有實際的應用意義，其關鍵在于能否抓住解三角形的知識和方法。借幾道簡單樸實而具有代表性的例題分析了解三角形過程中遇到的一些基本題型及應對方法，并進行歸納總結，為解三角形問題提供行之有效的解題方法。

關鍵詞：課堂教學；知識分析；解三角形；正弦定理；余弦定理

解三角形問題在高考中從不缺席，或注重考查基本知識、方法，或注重考查與三角函數、向量、不等式知識的綜合運用。要抓住解三角形的知識和方法就要掌握解三角形的一些基本題型及解題方法。下面從任意三角形的邊角元素入手，分析解三角形過程中出現的一些常見題型及其基本解題思路，并歸納總結。

一、找準基點，明確方向

無論是簡單的三角形邊角元素的求解，還是借助解三角形知識來解決相關的數學問題，都離不開四種基本的解三角形類型。在教學過程中，我們可以引導學生把這四種基本類型的解題思路當成一個模版記下，形成一系列相關問題的解題方法。

類型一：已知兩角和任一邊，解三角形

在三角形中，已知兩角和任一邊，可先求出第三個角，再根據正弦定理解題。

例1.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，c=2，求C，a，b.

分析：先根據三角形內角和180°，求出角C；再根據正弦定理求出a，b.

解析：∵∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-（A+B）=75°

根據正弦定理，a=■=■=3■-■，

根據正弦定理，b=■=■=2■-2，

∴∠C=75°，a=3■-■，b=2■-2

思考與小結：例1是已知A，B兩角和第三邊c，所以先求出第三角C，再根據■=■=■求出其余兩邊。若已知的是兩角和其中一個角的對邊，可以先用正弦定理求出其中一已知角的對邊，再用三角形內角和定理求出第三角。例如在△ABC中，已知∠A=30°，∠C=45°，a=20，求解此三角形。

類型二：已知三邊，解三角形

已知三邊長的題型，從余弦定理的推論入手，先求出其中一個角。

例2.在△ABC中，已知a=2■，b=■，c=3+■，求解△ABC.

分析：兩種解法：（1）應用余弦定理的推論求出兩角后，再由A+B+C=180°求出第三個角；（2）先用余弦定理的推論求出一個角，再根據正弦定理求出第二個角，最后由A+B+C=180°求出第三個角。

解析：（1）由余弦定理的推論得cosB=■=■，∴∠B=30°.

同理可得∠A=45°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

（2）由余弦定理的推論得，cosB=■=■，∴∠B=30°.

由正弦定理得，sinA=■=■=■，

∵a

∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（30°+45°）=105°.

思考與小結：用余弦定理的推論求角只有一個解，通常選取較小邊所對的銳角先進行求解，避免過大的計算量。此外，已知三邊解三角形時，邊長必須滿足構成三角形的條件，解三角形才有意義，否則，解不了三角形，例如，已知的三條邊分別為3 cm，4 cm，7 cm時，這個三角形就無法做出。

二、合理選擇，巧妙搭配

解三角形的四種常見題型都有針對性的解法，在選擇正弦定理還是余弦定理時具有比較明確的指向性，而對于一些題型，有時候兩個定理都可以單獨應用或者需要兩個定理聯合應用。

1.合理選擇，追求高效

解三角形的主要工具是正弦定理和余弦定理，單獨運用時要先觀察已知條件是運用正弦定理簡單，還是運用余弦定理簡單。有些題目兩者都可以解，但選對了方法將提高解題速度和準確率，避免繁瑣的計算。

例3.在△ABC中，若∠A=120°，AB=5， BC=7，則△ABC的面積S=____________.

分析：有兩種思路。一是先求∠C，再求∠B，根據S=■AB·BCsin∠B求出面積。但發現∠C不是特殊角，只能求出sinC=■，所以要求sinB需通過sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C） 并借助三角函數的兩角和差公式來求，那么又需要求cosC，計算相當繁瑣；二是運用余弦定理構造關于AC的方程，解出AC，再根據S=■AB·ACsin∠A求得面積。

解析：根據余弦定理，72=52+AC2-2×5×ACcos120°，解方程得AC=8.所以S=■AB·ACsin∠A=10■.

2.巧妙搭配，相輔相成

在求解三角形問題時，有時單獨運用正弦定理或余弦定理不能求解，這時就需要二者相輔相成。

例4.在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長.

分析：已知△ADC的三邊，先用余弦定理求出cosC，再根據sin2C+cos2C=1求出sinC，然后在△ABC中根據正弦定理求出AB.

此題有多種思路，但無論哪一種都需要正、余弦定理的結合。

解析：根據余弦定理的推論，cosC=■=■.

由sin2C+cos2C=1得，sinC=■=■.

根據正弦定理，AB=■=■=5■.

∴AC的長為5■.

扎實的數學基礎對進一步學習數學有著很大的促進作用。本文借幾道簡約樸實但具代表性的例題，從教學中常見的一些情況分類分析了解三角形的解題思路，并歸納小結解三角形的解題方法。萬變不離其宗，只要掌握解決問題的基本策略和方法，就可以實現觸類旁通，提高解題效率，解決更多解三角形的相關問題。

參考文獻：

[1]趙建軍.例談用正弦余弦定理解三角形[J].數學學習與研究，2012.

[2]孟敏.解三角形問題內容與方法淺析[J].教育教學論壇，2012.

（作者單位 福建省廈門市洪塘中學）

？誗編輯 溫雪蓮