從證明托勒密定理過程中感受初等幾何的思維視角

胡桂東

初等平面幾何中定理、性質、結論較多，運用廣泛，在數學競賽中，證明幾何題方法靈活機動，可從代數、幾何、三角知識作深入性思考，現結合托勒密定理證明作簡單闡述，供參考.

評注初等平面幾何中對于許多題而言，添加適當的輔助線能幫助解決問題，其實讀者從證明的過程中應該已經看到，證明過程中沒有運算，通過作出輔助線，構造相似形成比例，簡單而又直接，但是作輔助線的技巧要求卻很高，對結論敏感直觀的分析和平時解題經驗積累及解題技巧提出很高要求，盡管很多題中的輔助線十分奇怪，但歸根結底是運用一些基本想法，要作出成功的輔助線應當熟悉平面幾何中的基本定義、定理、性質.

評注此題利用正、余弦定理將幾何問題中邊的結論轉化為三角等式證明問題，再用三角公式進行化簡與證明，證明思路比作輔助線構造三角形相似成比例更為直接，當然對三角函數公式提出更高的要求.

證法分析3利用解析法，將平面幾何問題代數化，利用三角函數坐標定義，將A，B，C，D四點坐標化，通過距離公式證明結論.

評注通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，解題領域再次得到拓寬.解題方法雖有優劣之分，但解題領域的拓寬是在平時的學習過程中慢慢領悟出來的，正確規范中解題，錯誤訂正中修復，查漏補缺中歸納，習題練習中鞏固，基礎知識和學科素養都源自平時整個的學習過程，寶貴的學習資源需要加強反思和總結.

上述通過一個定理的證明剖析，認為學習過程不僅有體會的過程，更要有領悟的過程，才能使知識片段進行有機的銜接，解題思路和視野才能得到有效的拓寬，僅憑個人的一點經驗和想法，懇請各位讀者批評指正.