關于反函數的不定積分

劉暢

【摘要】探討了求反函數不定積分的一些方法，給出了反函數不定積分公式的嚴格證明.

【關鍵詞】反函數；不定積分；中值定理

【中圖分類號】O172

不定積分為求導運算的逆運算，在求導法則中我們知道函數與反函數的導數互為倒數[1].那么函數的不定積分與反函數的不定積分之間具有什么關系呢？文[2]～[4]分別利用分部積分法和幾何圖示法給出了反函數的不定積分計算公式，但其論證是不嚴密的，分部積分法需要假定函數的可導性，幾何圖示法依賴于幾何直觀，不符合數學嚴密性的要求. 文[5]借助于定積分的定義給出了反函數積分公式的一個嚴格證明，但論證過程較繁瑣.本文利用連續函數的介值定理和拉格朗日中值定理給出反函數積分公式的一個簡單證明.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學（上冊）[M]. （第六版）北京：高等教育出版社，2007.

[2]張芳.關于反函數不定積分的一種簡便求法[J].高等數學研究，2008，11（6）：42-43.

[3]鄭英.反函數積分的求法[J].數學學習與研究，2010（1）：72-72.

[4]董秀芳. 探析利用反函數求不定積分[J]. 牡丹江教育學院學報，2013（4）：103-104.

[5]成義寶. 關于反函數的積分法[J]. 曲阜師范大學學報，1988，14（1）：78-79.