定積分的等價定義及其應用

【摘要】傳統定積分的定義難度較大且過程復雜，應用價值也較低.基于應用目的，本文以內涵先導方式給出了定積分的創新定義，且將這一定義命名為牛頓—萊布尼茲定義.對于兩個定義的關系文中采用獨特方法給出了詳細論證.與傳統定義相比創新定義具有簡潔、實用的特點，對于提高教學質量意義重大.

【關鍵詞】高等數學；定積分；牛頓—萊布尼茲定義；等價定義

高等數學是一門重要的基礎課，與其他學科相比具有多層次的教學特點，有本科、專科，有文科、理科、工科，還有高職以及成人教育等.然而不管何種層次，定積分的教學都千篇一律地采用分割、做積、求和、取極限的傳統定義，因而會出現某些意想不到的問題.據調查，對于什么叫作定積分的問題，幾乎都以定積分的基本計算式作出回答.如以式子∫ b af（x）dx為內涵給出定積分的定義更具合理性和實用性，并且可以直接導入重點.高等數學建立概念的方式通常有兩種.第一種是由具體事物到一般規律，或者說由外延到內涵；第二種是由一般規律到具體事物，或者說由內涵到外延.不妨稱第一種為外延先導式概念，而第二種為內涵先導式概念.傳統定積分的概念就屬于第一種.在舉出兩個實例之后給出定義.

定理2說明了當函數f（x）連續時，在閉區間[a，b]上傳統定義與牛頓—萊布尼茲定義具有等價關系.因此，我們完全可以以定義2作為定積分的定義.兩個定義各自具有不同的特點，定義1著重在方法上，具有抽象性的特點，適合于理論研究；而定義2著重在計算和應用上，具有創新、簡潔、實用的特點，兩者在教學時間和難度上存在較大差距.不同層次的學生其基礎不同，思維能力不同，教學特點也不同，因此需要采用不同的定義方式，以利提高教學質量.

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