巧談數學中的對稱性

王蓬

對稱性在數學中總共包括四類：第一類是點關于點對稱，第二類是點關于線對稱， 第三類是線關于點對稱， 第四類是線關于線對稱.以上四類應用中，尤其前三種，在數學中應用十分廣泛.

分析當有些同學剛剛看到這個問題的時候，一下子嚇著了，因為里面的形式太復雜了，根號加根號，而且兩個根號里面又都是二次函數，這個問題難了，可是如果我們換個角度去思考，問題也就迎刃而解了，我們可以對根號里的兩個式子進行改寫，考慮它們的幾何意義.

點評本題的知識點綜合性比較強，知識點有點關于直線的對稱問題，求圓錐曲線的方程，而點關于直線的對稱問題是重點.這就說明了對稱問題可以滲透到數學中的許多方面.

上述講了對稱問題中的幾種基本情況，其實對稱問題還有其他應用，大家在學習橢圓的時候，橢圓中有一類題目就是對稱問題，說的是“弦中點”，它的實質是點關于點對稱，這里就用到了中點坐標公式.

點評上述解法思路清晰，過程容易讓人接受與理解，是將直線方程與橢圓方程聯立，最后得到大家所熟悉的一元二次方程，利用根與系數的關系以及中點坐標公式求出斜率.這種方法看似通俗易懂，但是里面的運算過程卻是十分復雜，里面都是平方，而且項數也比較多，只要寫錯一項，可能全部都錯了.那么有沒有簡單一點的解題方法呢？下面請大家看以下的解題思路.

點評這種方法大家看過之后，會覺得這種方法不光思路清晰，而且運算簡單，在運算過程當中，幾乎不需要算，要的也只是口算，這種方法是從弦端點出發，借助斜率問題，里面用到了對稱：弦中點，即點關于點對稱，最后巧妙地得到了直線m的斜率，這種方法我們稱之為“點差法”，它跳過了將直線方程與橢圓方程聯立這一繁瑣過程.