例析法向量在立幾距離問題中的應用

何廣文

新課標指出“幾何發(fā)展的根本出路是代數化，引入向量研究是幾何代數化的需要”.隨著平面法向量這個概念在新教材的引入，應用平面法向量解決立體幾何中空間線面位置關系的證明、空間角和距離的求解等高考熱點問題的方法更具靈活性和可操作性，其主要特點是用代數方法解決幾何問題，無需考慮如何添加輔助線，避開抽象的幾何推理和繁雜的幾何計算，使解題更顯簡潔明了.但在現行教材中，對法向量只是作了一個簡單的介紹，沒有它在解題當中的具體應用.下面我僅就法向量在立體幾何有關距離問題中的應用舉例說明.

一、利用法向量求點到平面的距離

解首先把要求的線線距離轉化為求線面距離再把它轉化為求點面距離.具體轉化如下：過其中一條直線作平面使這一平面與另一條直線平行，這樣問題就轉化為求直線到平行平面的距離問題了，我們利用前面例2的方法使問題得到了解決.連接AB1，DC1，由AB1∥DC1得直線DC1∥平面AD1B1，這樣兩異面直線D1A和DC1的距離就轉化為求直線DC1到與它平行平面AD1B1的距離了，而直線DC1到與它平行的平面AD1B1的距離又等于點D到平面AD1B1的距離.所以設平面AD1B1的法向量為n=（x，y，z），建立如圖所示的空間直角坐標系D1-xyz，由例1的解題過程得到直線D1A與DC1的距離為43.

總之，利用法向量在解立體幾何中的距離問題時，首先要建立適當的空間直角坐標系，寫出它們相關的點的坐標以及向量的坐標，再由法向量與平面內兩相交的兩個向量的數量積等于0，建立等量關系，取不定方程組的一組解，寫出法向量，最后用平面外一點到平面的距離公式d=|PA|·cos=PA·nn求出距離.