數列思想在一類證明題中的應用

祁玉海

【摘要】本文通過比較兩個數列通項的大小，來比較其前n項和的大小.據此證明形如“a1+a2+…+an≤f（n）”等類型的問題，操作方便，見解新穎.

【關鍵詞】數列；數列的通項；數列的通項公式

引言

一、 簡單背景

二、主要概念

通常，我們將按照一定次序排列的一列數叫數列.數列中的一個數叫作這個數列的項；而數列的第n項，叫作數列的通項；若一個數列的第n項an與n之間的函數關系可以用一個公式來表示，就把這個公式叫作這個數列的通項公式.在一個數列中，我們用an來表示數列的通項，用sn來表示此數列的前n項和.

三、主要內容

引理

在某兩個正項數列中，若其中一個數列的通項小于另一個數列的通項的充要條件是其前n項和必小于另一個數列的前n項和.

證明設兩數列的通項分別為an，bn.

此類型題目關鍵在于推測其前n項和的公式，這往往可根據題目隱含條件推出，驗證時就采用前面所說方法，推出通項公式后，只需驗證第一項符合與否，便可得出結論.

二、已知一個數列，對其不等式的證明

這類題目其實和前面證明等式的題目相似，區(qū)別在于這類題目的中間承接符號為不等號，所以在證明時，要根據需要擴大或縮小式子，得出an>或s′n即可.

三、總結

以上幾種類型的題目便是數列思想在這類證明題中應用的實際體現，從上述題目的解法可看出，數列思想的應用，簡化了原本復雜的證明，使得原本很難的題目變得容易，而且此種方法有助于活躍思維，當積累了一定的證題經驗之后，特別是后面的構造法，使得思維目標廣闊，靈活多變.

【參考文獻】

[1]婁桐城.中學數學詞典.知識出版社出版，1984.

[2]劉文.數列與極限.上海教育出版社出版，1979.

[3]多洛費也夫.初等數學問題選析.上海教育出版社，1983.