淺析高等數學解題中輔助函數的建構

劉亞敏

【摘要】建構最恰當的輔助函數是高等數學解題中的難點，看似無章可循，但仔細研究仍不失基本方法和一般規律，問題是如何加以歸納總結，本文根據高等數學各部分知識間的內在聯系，以實例就建構輔助函數問題進行初步探究.

【關鍵詞】輔助函數；建構方法

建構性解題思想及其方法是高等數學解題中一種重要的思想方法，筆者通過對輔助函數的基本特點及建構方法的闡述，想起到拋磚引玉之作用.

一、輔助函數的基本特點

1.輔助函數題設中沒有，結論中也不存在，僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們所熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明.

2.同一個命題可建構多個輔助函數用于解題 .

3.表面上看建構輔助函數的思路較寬廣，實質上，不同的輔助函數直接關系到解題的難易，因此，建構最恰當的輔助函數是解題的關鍵.

二、建構輔助函數的基本方法

1.聯想分析：要建構一個與所證結果有關的輔助函數，而后再運用已知條件及有關概念，推理得出所要證明的結果，通常是先從一個愿望出發，聯想起某種曾經用過的方法和手段，而后借助于這些方法和手段去接近目標，或者再從這些方法和手段出發，又去聯想別的通向目標的方法和手段，這樣繼續下去，直至達到我們能力所及的起點或把問題歸結到一個明顯成立的結論為止.因此，聯想是我們構思輔助函數的階梯.

聯想方法多適用于不等式命題的證明和有關方程實數根的討論.

總之，輔助函數的建構離不開分析、推理和聯想，解題者只有把知識學得系統、深入、融會貫通，才能取得事半功倍之效果.恰當的構思，巧妙的假設，充分的推理論證是每個研習高等數學的人們所不可或缺的數學修養和素質.