APOS理論在高中數學習題課教學中的應用及啟示

田沛雨 鞠海燕

一、引言

新的高中數學課程標準中指出“使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界”“要關注學生提出數學問題、分析問題、解決問題等過程的評價”等等，可見新課程理念中對數學解題的重視.傳統課堂上的解題，注重結果，強調正確答案；而在新課程理念倡導下“問題解決”則更加注重解決問題的過程、策略以及思維方法，強調學生在解決問題中情感、態度、價值觀的培養.這些理念的提出對教師提出了更高的要求，教師就需要不斷尋找學生的思維障礙所在，探究障礙形成的原因，把握學生的認知過程，減少機械灌輸，實現高效的課堂教學.本文結合美國數學教育家杜賓斯基的APOS理論分析學生解題中的思維過程，探究其對高中數學習題課教學的幫助和啟示.

二、APOS理論在解題中的應用

1.高中學生的認知規律

APOS理論是在學生主動建構知識的基礎上的學習理論，它強調學生的主動學習而不是被動接受，高中生已能夠有計劃有預見性地解決問題，元認知能力有了很大的提高，具有了很強的自我反省能力、遷移能力，理解能力已發展到了較高的水平，具備了能動的建構知識的過程.

2.APOS理論在學生解題中的應用

以“求y=sinπ3-12x，x∈[-2π，2π]的單調遞增區間”為例介紹一下APOS理論在學生解題過程中的應用.操作階段：題目類似于問題情境作用在學生身上，引起了學生思考如何求解這個函數的單調區間.過程階段：學生充分調動知識系統中的圖示解決題目的過程.審查、分析題目之后學生就會在思維中再現知識體系，從中尋找合適的圖示去解決問題.如果題目簡單，比如是定理或概念的直接運用，那么用已有的圖示就能順利地解決問題.如果題目稍微綜合一點，學生就會尋找和題目相關的圖示，有些題目不是直接考查定理、概念如何使用而是考查學生對定理、概念理解的過程，這時學生就需再現知識形成過程中的思維機制（此時實際是APOS理論逆用的過程），找到正確的理解過程.在這個題目中，學生首先會想到正弦函數的單調性，接著發現此題不單純是正弦函數的問題而是一個復合函數單調性的求解，學生就會從自己的認知結構中尋找相關的對象：復合函數單調性如何判斷？知識提取和運用的過程也是學生不斷試誤的過程，這過程中的經驗就會內化到思維中，當學生糾正了錯誤的思路找到正確的思路時，學生就能壓縮整個過程得到對象——完整的解題思路.這次的解題經驗就會和原有的認知結構相融合而形成新的圖示.學生能用這時的圖示去解決類似的問題，不必再去重現調動知識的全過程.在這個APOS解題的過程中強化了學生對知識的理解、應用能力和實際動手操作的技能，以后就能熟能生巧.

三、APOS理論對教學活動的啟示

“在教育教學過程中，教育者要發揮自己的創造性，結合學生的反饋信息，竭力尋求應用理論解決實際教學問題的途徑和方法.”教師以理論武裝自己，讓理論與實踐達到完美的結合.APOS的理念有效地融入習題課堂需要教師走近學生，和學生有很好的信息交流和反饋，充分地把握學生的認知，才能在課堂上和學生達成共鳴.綜合以上分析得出幾點啟示：①對于復雜的題目，需要老師提綱挈領地展現大的知識框架，然后及時地發現學生出錯誤的小知識點即小的Object，有針對性地糾錯，從而修正學生思維結構中的大的圖示；②通過APOS理論對解題思維障礙的展示，教師進行有針對性的講解，在課堂上重點突出，有的放矢；③根據學生的思維難點所在設置更加富有層次性、梯度性的題目，讓學生由易到難地接受知識；④把握住學生的思維障礙可以因勢利導地引導學生自我反思，有利于培養學生的反思能力；⑤通過把握學生的思維過程可以在解題中的不同環節加強數學思想和基本理念的培養，可以把握和引導學生的形象思維、直覺思維、邏輯思維；⑥在學生和教師的互動過程中教師應重視和鼓勵學生的發散思維和創新思維，培養學生的問題意識，鼓勵學生提問、質疑、釋疑，培養學生的探索精神.教師只有把握住學生解題過程中的思維障礙點，針對學生錯誤的階段強化講解和練習，才能達到高效的教學.

四、總結

習題課的講授不僅要讓學生學會具體題目的解法，而且要讓學生達到對知識的靈活運用，掌握數學思維和數學思想方法，通過習題加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學的知識體系，完善頭腦中已有的認知結構.結合APOS理論的問題解決的過程，能很好地培養學生的數學素養，激發學生的積極性；對教師把握問題的難度、學生的掌握知識的情況以及學生的思維障礙點很有用，讓課堂教學更有針對性.課堂情境的實施就是操作階段的進行，設置有層次、有梯度的問題情境對后續階段起著重要的作用，教師應通過習題的解決再現基本概念思維的過程，讓學生在解題中完善原有的認知結構，給知識以總結，讓學生的知識得到升華.