讓“封閉”的高中數學題“開放”

王加偉

長期以來，高中數學教學就是做大量的習題.這些數學題具有一定的形式，顯得很“封閉”.所謂的“開放題”是一種具有某種特殊形式的數學題，其實它與一般的數學題具有同樣的教學價值.但是，開放型的題型有利于培養學生創新思維與實踐能力，為高中數學課堂教學注入了生機與活力.那么，我們如何把一些所謂的“封閉”題變得“開放”呢？

一、結合實際教學，讓數學問題充滿趣味

《高中數學課程標準》中強調：“高中數學教學要體現實用性，要把數學作為人們生活中必不可少的工具.”首先，數學教學要與生活聯系，讓充滿生活化的數學問題充滿生活的趣味，從而讓學生感到數學的趣味性與實用價值.例如：學校修建一個新的跑道，要求長120米、寬100米，請我們的同學給學校設計這個跑道，設計標準必須符合以下幾個條件：（1）跑道必須按照國家規定的標準，圖形是直線或圓弧連接起來；（2）跑道中有八道同時內圈長度均為300米；（3）每道跑道寬度必須為1.22米.在設計過程中展現學生豐富的想象能力.有學生認為這樣的條件不能設計出滿足要求的體育場，因為跑道應由兩個半圓與一個矩形組成.經過準確地計算跑道內圈不能滿足300米這個要求.有學生認為應該能造出滿足題目要求的跑道，用四個四分之一圓弧與五個矩形構成.有學生把這個跑道設計成彎道部分由三段圓弧形狀組成，因為這樣才是符合要求的跑道.有學生更是發揮想象，把跑道設計成花園式的體育場，跑道全部由圓弧組成，因為這樣的體育場才顯得更加完美.由這道題我們可以看出，利用好這簡單的教學資源，讓學生充分運用已有的知識基礎與生活經驗，使數學問題充滿了趣味性，從而實現了“開放”.

二、充分提高認識，認清開放題內涵與意義

在我們解決開放性問題的過程中，通過對問題分析后能提出一種嶄新的解題方法，或者是獨立構造出一種新的解決方案，這本身就是對數學問題的創造.所謂“開放”的數學題，它包括我們教師的教學內容、學生數學學習活動與學生與教學內容之間相互作用等多方面的開放.結合當今現代認知心理學對數學學習過程的要求，我們給開放式的數學教學定位新的目標：充分體現以學生為課堂教學的主體地位，通過數學開放教學，在獲取數學知識與技能的同時，讓學生開展自主學習活動，在學習活動中積極主動參與，提高學生的實踐能力，培養創新思維.在教學實踐中，使學生能根據不同的能力、不同興趣與愛好選擇不同的方法與類型，讓學習能力較強的學生能夠開展合作探究活動，進一步提高自己；讓能力較低的學生也能積極地參與到活動中來，有一定的收獲.在這樣的過程中，可以實現：①培養學生的好奇心與求知欲望；②進一步促進學生積極探索，并產生探索策略；③引導學生利用已有的知識與經驗，提出問題、分析問題、解決新問題；④激發學生培養數學思維；⑤引導學生開展討論交流與探究合作.這種教學模式本身就具有一定的開放性，因而受到了學生的歡迎.

三、開放性數學問題，實施了因材施教原則

心理學理論指出，學生對問題的理解總是存在一定的差異，學生的學習水平與認知能力也存在著一定的差異.因材施教原則歷來是教育原則之一.數學教學是在個體的差異的基礎上進行的，并且要為每名學生提供可以施展自己才華的機會.例如：在學習“等差數列與等比數列”時，就設計出這樣的問題讓學生思考：一個正整數數列3，9，…，2187，…問：2187是這個數列中的第幾項？因為題目中沒有指明正整數數列具體是什么數列，那么我們就可以根據自己的理解與經驗來假定它，可以是等差數列、等比數列或其他數列.我們應該從學生的解答中知道學生的基礎與學習能力的差異，進而再開展因材施教.由于學生已經學過了等差、等比數列的通項公式，所以學生自然而然地會想到從等差或等比數列來考慮這個問題，于是很快就得到：①設這個數列是公差為6的等差數列，那么2187是數列中的第365項；②設這個數列是公比為3的等比數列，那么2187應該是數列中的第7項.這就是運用剛學過的知識來解決問題的.也有少數學生不知怎樣下手，教師就及時地給予點撥，幫助他們分析問題、解決問題，那就是怎樣來補充條件確定數列的項.這樣，讓所有的學生都有所收獲.

四、問題的多樣性，有利于培養創新思維

在進行開放數學題的教學中，我們一般會引導學生根據題目中的已知條件，利用自己已有的經驗與方法，對問題進行廣泛的聯想，然后積極探索，從中尋找出規律，讓問題順利地解決.由于探索的多樣性，不同的問題總有不同的解題方法，需要我們不斷地分析、推敲，有時候還不循常規，大膽地創新，充分考慮到問題存在著多種多樣的可能性.這樣，就有利于培養學生思維的獨創性、發散性與靈活性，從而提高了學生的創新思維能力.開放的題型符合高中學生思維活躍、善于想象、敢于嘗試的心理特征.學生在解答開放型題目的過程中，能把現實條件用數學的語言來表述，把一個抽象化、意念化或概括化的問題簡化.他們在其中涉及的思維包括：把原來的技能進行分組，以形成解決目前問題的一種整體的技能，或對原來的技能進行修正，以解決目前的問題.因此，教師在數學教學中合理地運用開放題有利于學生構建知識體系，不斷更新并完善自己的解題技能；有利于培養學生注重自己思考問題的過程，獲得解決問題的思路，從而采取有效的策略，大大地改變了只側重問題的答案或追求正確的結果；開放題有利于開展分層次教學，同時，也有利于改變以教師為中心的課堂教學.

總之，對開放題的教學已成為高中數學教學中的熱點問題.開放題為培養學生的創新思維能力提供了一種可能，這就要求學生有較強的主動參與意識.同時，也要求教師有較強的課堂駕馭能力.只有教師在教學實踐中不斷地探索，才能真正有效地體現數學開放題在教學中的價值.