排列與組合的教學研究

劉冰

【摘要】排列與組合是數學中兩個重要概念，也是教與學的難點，作者結合多年教學實踐，從分步與分類、有序與無序入手，對這兩個概念的本質區別和各類應用進行了深入的研究，對如何開展教學給出了具體的方法和步驟，可以為學生學習和教師教學提供一定的理論指導.

【關鍵詞】數學；排列組合；計數原理；教學研究

排列與組合是數學中一個獨特而重要的內容，較之其他知識具有更抽象、更靈活的特點.學習這部分內容，對發展學生的思維品質、提高分析和解決問題的能力是一個很好的鍛煉機會.現結合自己多年教學實踐的經驗與體會，談談如何進行排列與組合的教學.

一、兩個計數原理的教學

兩個計數原理分別是分類加法計數原理和分步乘法計數原理.它們看起來很簡單，卻是排列與組合的基礎和核心，牢固掌握加法原理和乘法原理是學好排列與組合的基礎和關鍵.

教學中可通過日常生活中具體生動的事例逐步引入這兩個計數原理，然后著重補充講解它們的區別及應用條件：做一件事，如果有幾類互相排斥的完成方法，那么就應用分類加法計數原理，把每一類的做法種數相加；如果需要分幾個互相獨立的步驟，只有把每一步驟都完成，才能完成這件事，就應用分步乘法計數原理把每一步驟的做法種數相乘.抓住這一特點，可更簡單地歸結為：

分步——相乘分類——相加

如何區分分步與分類呢？簡單地說，如果每次得到的是中間結果，則為分步；如果每次得到的都是最后結果，則為分類.這樣教學對學生來說更容易理解及掌握.當然，問題并非都這么簡單，如果在某個步驟中又分好幾類，或在某一類中又要分好幾個步驟，就需要綜合運用這兩個計數原理.

二、排列與組合概念的教學

排列與組合的概念是比較抽象的，教學中首先應結合教材上的例題，列出各種不同的排列（組合）結果，然后總結出各例子共有的特點，最后概括、抽象出問題的本質屬性，從而給出排列（組合）的一般定義.

排列與組合的概念，從二者的一般定義上看好像很相似，都是從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，這是它們的共同點；而對取出的m個元素是否進行排序，是判斷屬于排列問題還是屬于組合問題的關鍵.抓住這個特點，可以簡單地歸結為：

既取又排——排列只取不排——組合

排列與組合的概念教學的關鍵就是讓學生了解二者之間本質的區別.

三、排列數與組合數的教學

引入排列、組合的概念之后，應訓練學生會具體寫出某些個數不太多的所有排列（或組合），這對鞏固概念和推導排列數（或組合數）公式，起到承前啟后的作用，也是培養學生邏輯思維能力的好機會，因此它是教學過程中不可缺少的一環，應引起足夠的重視.在推導出排列數Amn、組合數Cmn的公式后，應引導學生觀察公式的特點，掌握公式的各種變形，并通過做一定數量的習題強化，以達到理解概念熟悉公式，能靈活運用的目的.

四、關于應用題的教學

這部分是教學中的難點.排列與組合問題由于條件不同，要求不同，因而解題的方法變化多端；思維的方式不同，就會有不同的解題方法.教材例題一般都是典型的例子，應講深講透.在講解例題過程中，要穿插介紹分類及分步的原則.分類原則：分類必須用統一標準，無遺漏，每類之間互相排斥；分步原則：分步必須每一步互相銜接，不重復，每步完成一個內容，所有步驟銜接起來就是完成事件的全過程.這兩個原則對解決復雜問題非常有幫助.

總結各類排列、組合問題，可以發現，應用題大致分為三種類型：

1.沒有附加條件的單純排列或組合題——稱之為“基本題”；

2.有附加條件的單純排列或組合題——稱之為“變化題”；

3.排列與組合結合起來的綜合性題——稱之為“綜合題”.

“基本題”可以幫助學生鞏固排列與組合的概念，建立“有序與無序”的思維；“變化題”與“綜合題”可以培養、提高學生靈活運用知識的能力.

正確解題的前提是準確理解題意，尤其是對“變化題”和“綜合題”.教學中應特別注意引導學生考慮以下三點：

一是區分問題的性質，是排列問題還是組合問題.

二是明確共有多少元素，每次取幾個.

三是考慮有什么限制條件，特別是有無隱含的限制條件.

尤其對第三點，應給予特別的重視，分析清楚所有限制條件，是解決復雜問題的關鍵.解題的基本思路是：特殊元素和特殊位置給予特殊安排（稱之為“三特思路”）.下面舉例說明：

例1從數字0，1，2，3，4，5中任取五個數字，問：

（1）可以組成多少個沒有重復數字的五位數？

（2）沒有重復數字的五位數中，1在首位、5在末位的數有多少個？

（3）沒有重復數字的五位數中，有多少個是偶數？

分析與解答這是一個與“順序”有關的問題，屬于排列問題，并且每個問題都含有隱含條件或附加條件.

總之，在排列與組合的教學中，兩個計數原理是基礎，排列與組合的概念是重點，靈活綜合運用是難點.教學中應緊密圍繞這三個方面，通過深入細致的分析講解，并配合一定數量的例題與練習，達到提高學生思維能力，培養學生良好的思維品質，拓展學生分析和解決問題能力的目的.