在初中代數概念課中引導學生自主變式的研究

張杏

【摘要】 數學概念是數學學習的開始和基礎，任何數學學習都是始于概念的探討和研究的。因此，數學概念是學生學習其它數學知識的必要基礎，也是訓練和提高學生基本數學技能的重要環節。從教學實踐來看，變式教學是數學概念教學最為有效的方法之一，實際教學中，我們應該做到具體情況具體分析，讓學生真正參與到教學之中，在對一個個變式的研究與討論過程中，實現自主完善、自我提高。教學變式的設計應該注意呈現差異性，體現層次性，具有開闊性，彰顯靈活性。

【關鍵詞】 初中 代數 變式 問題

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2014）03-057-02

數學概念是數學學習的開始和基礎，任何數學學習都是始于概念的探討和研究的。就本質而言，數學概念所反應的是客觀事物的空間結構與各組成部分之間的內在關系，是人們經過研究和實踐總結歸納出來的事物屬性的抽象概括，也是各種數學思想和數學方法的匯聚點。因此，數學概念是學生學習其它數學知識的必要基礎，也是訓練和提高學生基本數學技能的重要環節。從教學實踐來看，變式教學是數學概念教學最為有效的方法之一，以下筆者就來結合具體教學案例來談一談自己的看法，以饗讀者。

一、變式教學的相關概念

所謂“變式”，就是在不斷變更對象的非本質屬性，而使學生更加注意事物的本質特征，從變化之中找到不變，形成“公理化”的認識。所謂“變式教學”，就是指課堂教學過程中，以變換教學材料的組織方式，讓學生在不同的例題、習題和新舊知識的對比當中找到知識的本質以及不同知識、概念之間的區別和聯系。由此來看，變式教學實質上就是不斷變換題型、變換知識的表達形式和敘述方式，使學生從不同的角度來對相關、相近、相反的概念來進行對比分析，實際上就是一種對比教學法。其實，對于我國的數學教學來說，變式教學并不是一個新的概念，只是相關的理論梳理和實證研究工作做得不多。現在，有關的研究都是以顧泠沅、馬登等人的變易原理和變式對比理論為基礎的。

變式教學實質上就是為了促進學生有意義的學習。為了實現這一目的，教師就需要根據實際教學需要，綜合考慮教學內容和學生的學習基礎，合理地設計教學變式，使學生從多個角度、多個側面來深入思考數學概念，增強教學活動的互動性和有效性，真正完成教學目標。

二、變式教學在初中數學概念教學中的應用方式

對于初中數學概念教學來說，其根本任務是讓學生從來源上把握概念，并由此拓展概念的內涵和外延，理解不同概念之間的關系，學會靈活地應用概念來解決實際問題。根據概念的不同類型，我們可以將概念變式教學分為四類，即描述性概念、定義型概念、難理解概念和難想象概念。實際教學中，我們應該做到具體情況具體分析，讓學生真正參與到教學之中，在對一個個變式的研究與討論過程中，實現自主完善、自我提高。

1. 應用變式教學來進行描述性概念教學

概念的產生和描述方式不同，變式教學法的方法就有所不同。如數學概念當中并沒有明確的定義，而只是對其特征加以描述或列舉其不同表現形式、反例圖式等。對于此類概念，我們應該針對其內涵和外延，讓學生自主地思想，培養學生深刻的思維。當然，如果能使之建立具體事物、感性經驗和抽象概念之間的聯系，則教學就會變得相當簡單和自然。相關的研究也表明，影響學生掌握代數概念的因素主要有三個，一是學生已有的數學知識，二是概念的敘述方式，三是為掌握概念所呈現的各種變式。以數軸的教學為例，教學經驗豐富的教師往往會借助以下兩類變式來完成教學任務：一是通過生活實例來激活學生已有的感性經驗，使其理解數軸的實際含義，如舉出兩人同時從同一地點以5米/秒的速度出發，向相反的方向行走，如何描述兩人兩秒后距離出發點的距離之類的問題就非常恰當；二是利用不同的生活生產實例作為變式，引導學生實現由直觀材料形成的感性經驗到數學概念的升華和過度，使之掌握數軸的數學含義，準確把握數軸的數學外延。也就是說，在教學過程中應該多舉實例，使學生從不同的生活實例當中找到數軸上數值正負的含義：方向不同。當然，在教學發展到一定階段之時，我們就可以擺脫數學概念所依賴的具體的或直觀的生活場景，使學生能通過自己的邏輯思維來理解數學概念的實質了。而當學生的數學知識達到一定程度之后，甚至某些基本的數學概念成為其學習新概念的直觀變式。所以，我們這里所說的數學概念是抽象的還是具體的，是一個相對的概念。

2. 應用變式教學來進行描述性概念教學

有些概念，在數學當中是有明確定義的，也就是說，教科書當中有明確的、陳述性的定義。對于這燈概念，我們應該通過變式來引導學生主動地完成新概念與已有概念、特別是已有的相關概念之間的聯系，讓學生在將新概念與已有概念的對比和聯系當中體會新概念的本質屬性，從而完成對新概念的理解，也就是要讓學生主動完成心理學上所說的概念的同化的過程。在此過程中，學生受知識水平和認知能力的限制，極有可能會在理解新概念時，加入自己主觀臆斷的成分。為避免這一情況產生的負作用，我們應該結合自己的教學經驗，以邏輯關系為依據來創設，利用概念的真命題、逆命題、否命題來引導學生發現錯誤的源頭，摒棄錯誤思想，樹立正確觀念。

對于那些學生難以接受的概念，我們不妨將相關甚至相對的概念放在一起，讓學生在自發的對比、對照過程中，了解各個概念之間的聯系與區別。初中代數當中的不少概念之間是相容和不相容的關系，而即使是相容的概念，其關系又可以分為從屬、交叉和同一三種關系。比如，自然數和正整數就是同一關系，算術平方根的平方要是從屬關系，而根式和方根則是交叉關系。我們在上述幾組概念的教學中，就要將對應的概念加以對照比較，使之由表及里地理解相關概念。

只有學生深刻地理解了數學概念，才能為提高解題能力和實際應用能力打下堅實基礎；反之，也只有經過一系列的相關題目的訓練，學生才能更全面、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延。在教科書和參考資料當中都有大量的例子，我們在教學中應該充分利用起來。當然，學生在學習過程中，理解上出現的各種錯誤，也往往是我們重要的教學素材，如果能加以整理，則可形成針對性極強的訓練題目，再配合學生自主練習、小組討論、課堂交流、教師點評，則會使學生茅塞頓開、恍然大悟。

3. 應用變式教學來突破難理解概念

教學實踐中，我們會經常發現，盡管有些概念在數學當中有明確的定義，通過教學之后，學生也能一字不落地背出來，定義當中各個詞語的意思學生也能對答如流，但是只要一做題就出錯，出了錯學生是一點就透、一說就明白。出現這種情況，就說明學生對概念的理解仍然只是表面的、淺層次的，而并沒有清楚地理解概念的實質。此時，我們應該變換教學角度，學生理解概念當中每一個修飾性詞語的深刻含義，當然，最好能再結合具體例子來使學生從正反兩個方面來重新認識概念，讓學生改變或者加深對概念的認識，使其對概念的理解更加具體、更有意義。

如對于二次根式，課本是這樣描述的：“一般地，式子■（a≥0）叫做二次根式。”這是一個典型的描述性的概念。在這一概念當中，式子■（a≥0）是作為整體來出現的，其中a≥0是二次根式的必要條件，教學過程中我們可以分別舉出a>0、a=0、a<0的例子來讓學生判斷是否屬于二次根式。再如，對于函數，初中代數當中是這樣定義的：“在某一變化過程中，有兩個變量x、y，在某一范圍內，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與其相對應，這時，就稱y是x的函數。這時，x是自變量，y是因變量。”為了糾正學生在理解上的偏差，我們可以從如下四個方面來逐層剖析：一是存在“某一變化過程”，這是變量存在的基礎；二是“有兩個變量x、y”，這表明函數所描述的是兩個變量之間的相互關系；三是“在某一范圍內，如果對于x的每一個值”，這意在將變量x的值限制在某一范圍之內，也就是說函數有意義所要滿足的條件；四是“y都有唯一的值與其相對應”，也就是說x和y應該是一一對應關系。如此一來，層層深入，就會使學生理解，函數從本質上來說就是一種一一對應關系。

4. 應用教學來突破難想象概念

在數學當中，不少概念看起來好像是簡單而且具體的，但是一旦應用到實際情況當中，學生往往不知如何下手。實際上要解決這種情況，最好的辦法就是展示出概念產生的背景和經常出現的方式，以實現概念的變式。

在初中代數當中，特別是涉及數軸、函數圖象等知識時，往往需要借助幾何圖形來理解概念或者解決相關問題，因此初中代數教學當中特別強調數形結合的思想，以幫助學生正確地理解和應用概念。如，我們在練習和考試當中常見與如下題目相類似的題目：

文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m，則小明此時的位置在（ ）

A. 文具店處 B. 書店東100m處

C. 服裝店處 D. 文具店東100m處

這一題目其實并不難，但對于初一學生而言，如果單憑想象，則往往不得要領。如果我們引導學生以書店為原點、以向東為正方向、以是1m為單位長度建立數軸，將題述情況畫到畫軸之上，則文具店、服裝店的位置分別可用-30、+80來表示。這校一來，小明從書店向西走了20m，接著又向東走了100m，則其位置正好處于+80，即小明所在位置為服裝店處。這樣做的話，學生就會完成由實際生活案例向代數知識的轉變，學會用代數知識來理解、描述和分析日常生活行為。

三、應用變式教學需要注意的問題

如前所述，應用變式教學來進行概念教學，方便實用，有利于促進學生對數學概念的全面理解，有利于提高學生的學習成績，有利于改變傳統的教學模式，更好地激發學生的自主思考，提高學生的學習興趣，激活學生的發散思想，特別適合基礎差、積極性新的學生在數學上有所發展。從這些方面來說，變式教學都是頗為符合新課程的要求的。但是，我們應該注意，我們所說的變式教學絕不是為了“變式”而“變式”，而應該以教學需要為依據，以學生認知規律和教學規律為準繩，有序、科學、合理地設計教學變式，讓學生在變式訓練的過程中，深化對知識的理解，將學科知識轉化為數學能力，掌握數學技巧，真正完成“應用——理解——形成技能和能力”的完整認知過程。所以，數學變式的設計要講究“巧”，要注意藝術性，要把握好“度”。一般說來，在數學概念教學中，教學變式的設計應該注意以下幾個問題：

1. 呈現差異性。設計數學教學變式必須突出一個“變”字，不能是同一題目的簡單、機械地重復。當然，我們說突出“變”字，并不是說同一題組之間無任何聯系，而是同一題組之間的不同題目應該有明顯的差異，只有這樣，學生在分析問題和解決問題的過程中感覺既熟悉又新鮮。從心理學的角度來看，只有新鮮的題目才能給學生以強烈的刺激，使之處于高度興奮狀態，集中注意力分析題目之間的不同，積極思考，主動探索，從而收到較好的訓練效果。所以我們說，在代數概念教學的變式設計中，應該力爭做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。

2. 體現層次性。我們說概念變式教學所設計的問題不能過于簡單，讓學生一眼看穿，否則將無法調動學生思考的積極性。但是，在變式設計時，應該遵循由易到難、逐步深入、層層遞進的原則，使一系列的問題總能處于學生思維能力的最近發展區內。唯有如此，方能既保證學生的求知欲和好奇心，又使學生在解決和分析問題的過程中提升自身能力和素質，能夠自主地跨過一個又一個“門坎”。

3. 具有開闊性。好的藝術作品，意境開闊方能令人回味無窮。教學設計也是如此。對于概念教學的變式設計來說，應該給學生留下足夠的思考空間，使其有意猶未盡之感。要做到這一點，教學設計當中所引用的生產、生活實例和例題就要具備三個特點：一是與相關知識具有橫向聯系，能引起學生的聯想；二是題目延伸性強，可以實現一題多變，激起學生變中求統一的欲望；三是題目的分析與解決過程體現創造性和深刻性，對學生具有方法啟迪。

4. 彰顯靈活性。即變式設計應該符合學生的學習實際，緊扣教學重點和難點，變式設計的方式靈活多樣，學生能夠在教師啟發下獨立完成探索過程，或者至少能夠半獨立地完成思考和討論。當然，根據教學內容的不同，我們可以安排學生就數學概念的內涵和外延分散訓練，也可以安排學生進行集中討論，甚至將對一個概念的掌握分為為若干個變式，讓學生體會知識的螺旋上升過程。這樣一來，就會吸引學生多種感官來參與學習，使其大腦和神經始終處于高度興奮狀態，收到最佳的教學效果。

[ 參 考 文 獻 ]

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