數學解題錯誤分類例析

劉淵樞

【摘要】數學解題錯誤是學生在數學學習過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學反饋，以便適時調整教學方案；又可提升學生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發展。

【關鍵詞】解題錯誤 認知結構 策略性錯誤 等價轉換 正難則反

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）03-0130-02

對于數學習題來說，雖然一些探索性或開放性的問題解決不能依靠固定的模式，但解題策略的確定，依然是問題解決順利進行的先決條件。一個數學問題的解決，可采用的策略一定是多種多樣的，但一個好的策略不僅可以使解題的過程簡潔明快，而且決定著問題的最終解決。而不合理的策略可以產生錯誤導向，從而使問題不能得解；或者，策略的選擇增加了求解過程的難度或長度，在思維與時間上造成浪費。比如，數學家西蒙曾研究過解決“河內塔問題”的四種不同策略：目標遞歸、知覺策略、模式和機械記憶策略，并做過非常精彩的比較。筆者結合教學實際，通過實例對策略性錯誤進行詳細分析。

一、缺乏整體概念

例1.（1）已知a，b均為正數，且有a+2b=1，求■+■ 的最小值。

（2）已知x>0，y>0，且x+y+■+■=10，求x+y的最大值。

事實上，問（1）是問（2）的鋪墊，學生對問（1）的充分理解有益于確立問（2）的解題模式，這實質上思維的遷移。但教學中絕大多數學生對問（2）一籌莫展，或者通過變元轉化為函數問題而陷入繁瑣冗長的計算之中。正確的策略是：（1）■+■=（■+■）（a+2b）=■+■+3≥2■+3=2■+3，當且僅當a2=2b2時，取最小值。（2）令x+y=t>0，則x+y+■+■=10可化為t+■（■+■）（x+y）=10，即10=t+■（■+■+10）≥t+■？圯t2-10t+16≤0？圯2≤t≤8，故x+y的最大值是8。選對策略，問題簡潔明快，而不能快速求解的原因則是由于缺乏整體概念造成策略性失誤或錯解。

二、模式識別有誤

數學家與心理學家早在20世紀50年代起，以信息加工觀點對學生解決問題的過程進行了系列研究，認為學生所面臨的大多數問題是通過模式識別來解決的。所以，從根本上看，良好的問題儲備對模式辨認有著非常重要的意義。“辨認的正確與否決定著所提取的方法合適與否，從而也就決定著解題結果的正確與否。”

例2.人教版必修二P110B組第8題：已知0

■+■+■+■≥2■

學生把它當成難題，是因為把此例看成是一個不等式證明問題，覺得自己難以應對，若是仔細觀察每個根式的特點，則不難找到“距離”的影子，注意到已知中的條件，這是一個典型的數形結合的解析幾何問題。背景變了，問題的性質就變了。

如圖，0

再比如，學生對于恒成立問題與有解問題經常分不清，表面上看似知識性錯誤，但錯誤的背后實質有模式識別的成份——這是從記憶存貯中提取的過程。

例3. （1）若x-1+x+2 >a對任意實數x恒成立，則a的取值范圍是________。

（2）若不等式x+1-x-2 >a在x∈R上有解，則a的取值范圍是________。

這兩個不等式的左側部分可以看成關于x的分段函數，利用數形結合找到最值；或者利用三角不等式a-b≤a+b≤a+b求最值。（1）的正確答案應該是a<（x-1+x+2min=3；（2）的正確答案是a<（x+1-x-2max=3。

例4. 不等式（x-1）（■+1）+（2x-3）（■+1）>0的解集是________。

此問題依然會被學生當成一般不等式求解問題，或者從形式上被嚇倒而無法做到本質抽象，這是典型的模式識別有誤。分別對兩個根式進行變形：（x-1）（■+1），（2x-3）（■+1），兩式結構完全相同，故構造函數f（x）=x（■+1），不難證明f（x）為奇函數且為增函數，原不等式化為f（x-1）+f（2x-3）>0？圯f（x-1）>f（3-2x）？圯x-1>2x-3？圯x<2。

該問題的考點組合與模式構造，可謂精彩。

三、不能成功轉化

這類策略性錯誤并非學生不懂相關的知識點，而是由于思維廣闊性與深刻性的局限，不能把這些單點知識或問題有機聯系起來，從而不能把問題成功轉化為新的形式，以期達到簡單化、熟悉化的目的。

例5.教材中介紹對數運算時對公式loga （MN）=loga M+loga N給出了證明，并說明同理可證loga■=loga M-loga N。

學生在應用及記憶公式的過程中，會把這兩個公式當成完全獨立的兩條，第二條可否轉化為第一條公式呢？事實上，這兩條公式的本質是一樣的，loga■=loga■+loga N-loga N=loga■·N-loga N=loga M-loga N。

化歸的思想是化難為易、化復雜為簡單的重要思想方法，對知識間內在聯系的理解會更加深刻，這當然大大提高了學生解題過程中的模式識別能力，在面對問題時快速辨認、提取與轉化。

例6.已知關于x的不等式x-2+3-x

此問題若單純辨認為求解不等式的問題，則不會是好的策略選擇，如若看成兩個函數的比較問題，則可以選擇數形結合來解，這是更為經濟的策略選擇。

策略1.原不等式左邊看成分段函數f（x）=5-2x（x<2）1 （x≥2），則不等有解轉化為m>fmin（x）=1。

策略2.原不等式可化為x-21

四、“正難則反”思維偏弱

數學問題的解決，大多從條件出發，借助于具體的模式與方法，進行正面、順向的思考，在思維的方向具有定向性、層次性和整合性。但事物往往是互為因果的，具有雙向性和可逆性，所以“正難則反”則是正向思維受阻時的逆向思維，反向的思考便為一種非常合理的解題策略，如補集思想或反證法等。

例7.若三條拋物線y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一條與x軸有交點，求a的取值范圍。

很多學生并不理解“至少”的概念，所以題意的理解模糊，在正面分類較多難以入手的情況下，并未從“正難則反”的策略上入手，從而導致出錯。

正解1.若這三條拋物線都與x軸無交點，則△1=16a2-4（-4a+3）<0△2=（a-1）2-4a2<0△3=4a2+8a<0？圯-■

正解2. △1=16a2-4（-4a+3）≥0，或△2=（a-1）2-4a2≥0，或△3=4a2+8a≥0，則三個解集的并集為a∈-∞，-■∪[-1，+∞）。

例8.已知y=f（x）是定義在R上的增函數，試判斷并證明a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的什么條件。

錯解：由a+b>0？圯a>-b？圯f（-a）>f（-b），a+b>0？圯b>-a？圯f（b）>f（-a），兩式相加可得f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b），反之不成立，故a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）的充分非必要條件。

正解：充分性和上同，關鍵是要合理說明f（a）+f（b）>f（-a）+f（-b）是a+b>0的什么條件，由已知條件可知正向入手困難，故“正難則反”，從逆否命題的觀點把原問題轉化為只需證a+b≤0是f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）的什么條件，這和充分性證明的過程完全相同。故，a+b>0是f（a）+f（b）>f（-a）>f（-a）+f（-b）的充分必要條件。

通過上述若干實例發現，策略性錯誤（失誤）與心理性錯誤、邏輯性錯誤和知識性錯誤不同，策略性錯誤可能是因為辨認與提取錯誤而導致解錯，也可能是由于策略選擇不當使求解過程過難過長，導致思維與時間上的浪費。

參考文獻：

[1]戴再平.《數學習題理論》.上海：上海教育出版社，1996第二版

[2]張奠宙，過伯祥.《數學方法論稿》.上海：上海教育出版社，1996

[3]波利亞（美） 《怎樣解題》.上海：上海科技教育出版社 2011