數學有效復習“四步曲”

鄭小青

“找準切入點、把握關鍵點、選好著力點、重視延伸點”是小學數學實施有效復習的“四步曲”。下面結合“立體圖形的體積復習”，談談進行有效復習的一些實踐與思考。

一步曲：創設情境，激趣導入——找準有效復習的切入點

學生學習興趣是否被激發起來，直接影響復習課的學習效果。因此，教師在復習課始階段要根據所復習的教學內容，找準有效復習的切入點，創設能激起學生學習興趣的情境，激起學生搜索回憶知識、解決問題的欲望，讓學生積極參與到復習課中。

[案例描述一]

師：同學們，大屏幕上的金魚漂亮嗎？

生齊：漂亮？

師：假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？

生4：老師，我明白了，這里的“等積變形”就是把金魚的體積轉化成形狀不同、體積相等的上升水柱的體積。

[分析]上述教學片段中，有三點值得提倡：一是教學情境的創設體現了“短、平、快”的特點。教師一句“假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？”，情境的創設可謂直奔主題，迅速把學生引導到“體積”這個有價值的數學信息上來，在最短的時間內拉近了情境與數學教學的距離。二是溝通復習知識與現實生活的聯系，找準了有效復習的切入點。通過“想知道金魚的體積”這個情境的創設，將所復習的數學知識與現實生活相結合，使教學一開始就緊緊圍繞“等積變形”這一數學思想展開。三是激發了學生的學習興趣，啟迪學生的數學思維。由于金魚的體積是學生迫切想知道的，所以他們投入討論特別激烈和熱鬧，真是“一石激起千層浪”啊！

二步曲：自主梳理，建構網絡——把握有效復習的關鍵點

建構主義認為，學習過程是學習者自我認知結構的組織和重新組織的過程。復習是使學生進一步理解、掌握、鞏固和運用所學知識的系統化過程，其目的是鞏固、梳理已學的知識，引導學生把各知識點分類整理，形成知識的網絡，構建完整的知識體系，熟練掌握基礎知識和基本技能，起到“查漏補缺”的效果，從而進一步發展學生的綜合能力。“自主梳理與建構網絡”是學生形成知識網絡的的重要環節，也是把握有效復習的關鍵點。

[案例描述二]

1.自主回顧知識網絡。

師：小學里我們學過哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、圓柱、圓錐。（貼出相應的立體圖形）

師：通過剛才的學習，你有什么想法？

生1：這些立體圖形的體積最初都是由基本圖形轉化而來的……

生2：這些立體圖形的體積都可以借助“底面積×高”來計算……

[分析]上述教學片段中，學生通過三個層次的學習經歷了自主梳理、自主建構知識網絡的過程。1.讓學生自己說出立體圖形體積計算公式。學生通過思維再現、記憶提煉，有了初步的記憶表象，這是整理知識的重要基礎。2.先讓學生自主整理，再讓每個學生在小組里交流自己的整理思路，在相互補充過程中逐步完善，最后讓各小組派代表全班交流。學生通過交流、質疑、爭論、討論，激起智慧的碰撞、情感的共鳴，使知識本質更加清晰，記憶更加深刻。3.整理出簡潔清晰、一目了然的關系圖。學生最終形成的知識系統，是群體智慧的結晶。當學生的整理結果能揭示知識間的聯系，形成較為完整的知識系統，完全可以通過比較、評價，選出最優方案，用學生“作品”構建知識網絡。當學生“作品”還不能滿足“形成完整知識系統”這一目標時，教師應引導學生對小組整理結果進行觀察、比較、建立縱向與橫向聯系，不斷補充與完善，形成完整知識系統。“知識讓學生梳理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構”真正把握住了有效復習的關鍵點。

三步曲：分層練習，突出重點——選好有效復習的著力點

復習課的功能不但要幫助學生建立起完整的知識網絡，更應提高學生解決實際問題能力，因而，鞏固練習應突出練習的綜合性、靈活性和發展性。通過一定的練習，使學生進一步深化知識網絡。由于復習的內容較多，一節課的復習中不能面面俱到，而應點到為止，更要突出重點，練習要練在教學的重點、學生的難點處。如“立體圖形的體積復習”的鞏固階段，把練習的重點定位在“柱體”的體積計算和利用“等積變形”解決一些現實中的生活問題。

[案例描述三]

1.“柱體體積”的巧算。

（1）為什么長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”來計算？

（2）下面的圖形是不是柱體？

生：根據“等積變形”，橡皮泥體積不變，圓錐和圓柱的高又相等，那么圓錐的底面積只有變大到圓柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（課件展示學生思路）

（3）腦筋急轉彎：將一個底面是15.7平方厘米，高10厘米的圓柱形鋼材鍛造成一個與它底面積相等的圓錐，圓錐的高是多少分米？

（4）一個圓柱與一個圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐的體積大36立方厘米，那么圓錐的體積是（ ）立方厘米，圓柱的體積是（ ）立方厘米。

（5）把一段圓柱形的木料削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是50立方分米，這段木料的體積是（ ）立方分米。

四步曲：綜合應用，拓展提升——重視有效復習的延伸點

復習課可以延伸、拓寬，應“下要保底，上不封頂”，讓不同層次的學生都有不同程度的提高。如“立體圖形的體積復習”的課尾階段，借助“等積變形”的數學思想，解決一些現實中的更難的生活問題。

[案例描述四]

1.你知道金魚的體積是多少嗎？

（1）把一條金魚完全浸沒在一個底面直徑是20厘米，水深12厘米的圓柱形容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

（2）把另一條金魚也完全浸沒在一個長為20厘米，寬為12厘米，高為15厘米的長方體容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容積是多少嗎？

一個酒瓶里面深30厘米，底面直徑是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞緊后倒置（瓶口向下），這時酒深20厘米，你能算出酒瓶的容積是多少毫升來嗎？

3.你知道路能鋪多長嗎？

一個圓錐形的沙堆，底面積是15平方米，高1.2米。用這堆沙在10米寬的公路上鋪2厘米厚的路面，能鋪多長？

[分析]上述教學中，“你知道金魚的體積是多少嗎？”無論是用圓柱體的容器，還是長方體的容器，都是通過“等積變形”把金魚的體積轉化為上升水柱（實為圓柱體或長方體形狀的柱體）的體積；“你知道酒瓶的容積是多少嗎？”事實上是通過“等積變形”把不規則的酒瓶轉化成底面直徑是8厘米，高為30—20+10=20（厘米）的圓柱的體積；而“你知道路能鋪多長嗎？”實際上是把圓錐形的沙堆通過“等積變形”轉化成體積相等的長方體的體積，通過“長方體的高（鋪多厚）=長方體的體積（圓錐形沙堆的體積）÷長方體的底面積”，求出能鋪多長的路。這些都需要學生有一定的思維能力和綜合解題能力，但由于學生真正理解了“等積變形”，難題也變得簡單了。因此，復習課的拓展提升，就應該在培養學生思維的靈活性和創造性多下功夫，切實培養學生解決實際生活問題的能力。

總之，小學數學復習課要真正上好、上出實效并不容易，需要教師在實踐中摸索，充分相信學生的潛能，在課堂教學中努力做到“知識讓學生疏理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構、對錯讓學生判斷、成功讓學生體驗”，只有這樣才能真正達到“抓住雙基串成線、溝通聯系連成片、溫故知新補缺漏、融會貫通更熟練、綜合能力大發展”的復習目標。endprint

“找準切入點、把握關鍵點、選好著力點、重視延伸點”是小學數學實施有效復習的“四步曲”。下面結合“立體圖形的體積復習”，談談進行有效復習的一些實踐與思考。

一步曲：創設情境，激趣導入——找準有效復習的切入點

學生學習興趣是否被激發起來，直接影響復習課的學習效果。因此，教師在復習課始階段要根據所復習的教學內容，找準有效復習的切入點，創設能激起學生學習興趣的情境，激起學生搜索回憶知識、解決問題的欲望，讓學生積極參與到復習課中。

[案例描述一]

師：同學們，大屏幕上的金魚漂亮嗎？

生齊：漂亮？

師：假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？

生4：老師，我明白了，這里的“等積變形”就是把金魚的體積轉化成形狀不同、體積相等的上升水柱的體積。

[分析]上述教學片段中，有三點值得提倡：一是教學情境的創設體現了“短、平、快”的特點。教師一句“假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？”，情境的創設可謂直奔主題，迅速把學生引導到“體積”這個有價值的數學信息上來，在最短的時間內拉近了情境與數學教學的距離。二是溝通復習知識與現實生活的聯系，找準了有效復習的切入點。通過“想知道金魚的體積”這個情境的創設，將所復習的數學知識與現實生活相結合，使教學一開始就緊緊圍繞“等積變形”這一數學思想展開。三是激發了學生的學習興趣，啟迪學生的數學思維。由于金魚的體積是學生迫切想知道的，所以他們投入討論特別激烈和熱鬧，真是“一石激起千層浪”啊！

二步曲：自主梳理，建構網絡——把握有效復習的關鍵點

建構主義認為，學習過程是學習者自我認知結構的組織和重新組織的過程。復習是使學生進一步理解、掌握、鞏固和運用所學知識的系統化過程，其目的是鞏固、梳理已學的知識，引導學生把各知識點分類整理，形成知識的網絡，構建完整的知識體系，熟練掌握基礎知識和基本技能，起到“查漏補缺”的效果，從而進一步發展學生的綜合能力。“自主梳理與建構網絡”是學生形成知識網絡的的重要環節，也是把握有效復習的關鍵點。

[案例描述二]

1.自主回顧知識網絡。

師：小學里我們學過哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、圓柱、圓錐。（貼出相應的立體圖形）

師：通過剛才的學習，你有什么想法？

生1：這些立體圖形的體積最初都是由基本圖形轉化而來的……

生2：這些立體圖形的體積都可以借助“底面積×高”來計算……

[分析]上述教學片段中，學生通過三個層次的學習經歷了自主梳理、自主建構知識網絡的過程。1.讓學生自己說出立體圖形體積計算公式。學生通過思維再現、記憶提煉，有了初步的記憶表象，這是整理知識的重要基礎。2.先讓學生自主整理，再讓每個學生在小組里交流自己的整理思路，在相互補充過程中逐步完善，最后讓各小組派代表全班交流。學生通過交流、質疑、爭論、討論，激起智慧的碰撞、情感的共鳴，使知識本質更加清晰，記憶更加深刻。3.整理出簡潔清晰、一目了然的關系圖。學生最終形成的知識系統，是群體智慧的結晶。當學生的整理結果能揭示知識間的聯系，形成較為完整的知識系統，完全可以通過比較、評價，選出最優方案，用學生“作品”構建知識網絡。當學生“作品”還不能滿足“形成完整知識系統”這一目標時，教師應引導學生對小組整理結果進行觀察、比較、建立縱向與橫向聯系，不斷補充與完善，形成完整知識系統。“知識讓學生梳理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構”真正把握住了有效復習的關鍵點。

三步曲：分層練習，突出重點——選好有效復習的著力點

復習課的功能不但要幫助學生建立起完整的知識網絡，更應提高學生解決實際問題能力，因而，鞏固練習應突出練習的綜合性、靈活性和發展性。通過一定的練習，使學生進一步深化知識網絡。由于復習的內容較多，一節課的復習中不能面面俱到，而應點到為止，更要突出重點，練習要練在教學的重點、學生的難點處。如“立體圖形的體積復習”的鞏固階段，把練習的重點定位在“柱體”的體積計算和利用“等積變形”解決一些現實中的生活問題。

[案例描述三]

1.“柱體體積”的巧算。

（1）為什么長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”來計算？

（2）下面的圖形是不是柱體？

生：根據“等積變形”，橡皮泥體積不變，圓錐和圓柱的高又相等，那么圓錐的底面積只有變大到圓柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（課件展示學生思路）

（3）腦筋急轉彎：將一個底面是15.7平方厘米，高10厘米的圓柱形鋼材鍛造成一個與它底面積相等的圓錐，圓錐的高是多少分米？

（4）一個圓柱與一個圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐的體積大36立方厘米，那么圓錐的體積是（ ）立方厘米，圓柱的體積是（ ）立方厘米。

（5）把一段圓柱形的木料削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是50立方分米，這段木料的體積是（ ）立方分米。

四步曲：綜合應用，拓展提升——重視有效復習的延伸點

復習課可以延伸、拓寬，應“下要保底，上不封頂”，讓不同層次的學生都有不同程度的提高。如“立體圖形的體積復習”的課尾階段，借助“等積變形”的數學思想，解決一些現實中的更難的生活問題。

[案例描述四]

1.你知道金魚的體積是多少嗎？

（1）把一條金魚完全浸沒在一個底面直徑是20厘米，水深12厘米的圓柱形容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

（2）把另一條金魚也完全浸沒在一個長為20厘米，寬為12厘米，高為15厘米的長方體容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容積是多少嗎？

一個酒瓶里面深30厘米，底面直徑是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞緊后倒置（瓶口向下），這時酒深20厘米，你能算出酒瓶的容積是多少毫升來嗎？

3.你知道路能鋪多長嗎？

一個圓錐形的沙堆，底面積是15平方米，高1.2米。用這堆沙在10米寬的公路上鋪2厘米厚的路面，能鋪多長？

[分析]上述教學中，“你知道金魚的體積是多少嗎？”無論是用圓柱體的容器，還是長方體的容器，都是通過“等積變形”把金魚的體積轉化為上升水柱（實為圓柱體或長方體形狀的柱體）的體積；“你知道酒瓶的容積是多少嗎？”事實上是通過“等積變形”把不規則的酒瓶轉化成底面直徑是8厘米，高為30—20+10=20（厘米）的圓柱的體積；而“你知道路能鋪多長嗎？”實際上是把圓錐形的沙堆通過“等積變形”轉化成體積相等的長方體的體積，通過“長方體的高（鋪多厚）=長方體的體積（圓錐形沙堆的體積）÷長方體的底面積”，求出能鋪多長的路。這些都需要學生有一定的思維能力和綜合解題能力，但由于學生真正理解了“等積變形”，難題也變得簡單了。因此，復習課的拓展提升，就應該在培養學生思維的靈活性和創造性多下功夫，切實培養學生解決實際生活問題的能力。

總之，小學數學復習課要真正上好、上出實效并不容易，需要教師在實踐中摸索，充分相信學生的潛能，在課堂教學中努力做到“知識讓學生疏理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構、對錯讓學生判斷、成功讓學生體驗”，只有這樣才能真正達到“抓住雙基串成線、溝通聯系連成片、溫故知新補缺漏、融會貫通更熟練、綜合能力大發展”的復習目標。endprint

“找準切入點、把握關鍵點、選好著力點、重視延伸點”是小學數學實施有效復習的“四步曲”。下面結合“立體圖形的體積復習”，談談進行有效復習的一些實踐與思考。

一步曲：創設情境，激趣導入——找準有效復習的切入點

學生學習興趣是否被激發起來，直接影響復習課的學習效果。因此，教師在復習課始階段要根據所復習的教學內容，找準有效復習的切入點，創設能激起學生學習興趣的情境，激起學生搜索回憶知識、解決問題的欲望，讓學生積極參與到復習課中。

[案例描述一]

師：同學們，大屏幕上的金魚漂亮嗎？

生齊：漂亮？

師：假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？

生4：老師，我明白了，這里的“等積變形”就是把金魚的體積轉化成形狀不同、體積相等的上升水柱的體積。

[分析]上述教學片段中，有三點值得提倡：一是教學情境的創設體現了“短、平、快”的特點。教師一句“假如我想知道這條金魚的體積，你有什么辦法？”，情境的創設可謂直奔主題，迅速把學生引導到“體積”這個有價值的數學信息上來，在最短的時間內拉近了情境與數學教學的距離。二是溝通復習知識與現實生活的聯系，找準了有效復習的切入點。通過“想知道金魚的體積”這個情境的創設，將所復習的數學知識與現實生活相結合，使教學一開始就緊緊圍繞“等積變形”這一數學思想展開。三是激發了學生的學習興趣，啟迪學生的數學思維。由于金魚的體積是學生迫切想知道的，所以他們投入討論特別激烈和熱鬧，真是“一石激起千層浪”啊！

二步曲：自主梳理，建構網絡——把握有效復習的關鍵點

建構主義認為，學習過程是學習者自我認知結構的組織和重新組織的過程。復習是使學生進一步理解、掌握、鞏固和運用所學知識的系統化過程，其目的是鞏固、梳理已學的知識，引導學生把各知識點分類整理，形成知識的網絡，構建完整的知識體系，熟練掌握基礎知識和基本技能，起到“查漏補缺”的效果，從而進一步發展學生的綜合能力。“自主梳理與建構網絡”是學生形成知識網絡的的重要環節，也是把握有效復習的關鍵點。

[案例描述二]

1.自主回顧知識網絡。

師：小學里我們學過哪些立體圖形？

生：長方體、正方體、圓柱、圓錐。（貼出相應的立體圖形）

師：通過剛才的學習，你有什么想法？

生1：這些立體圖形的體積最初都是由基本圖形轉化而來的……

生2：這些立體圖形的體積都可以借助“底面積×高”來計算……

[分析]上述教學片段中，學生通過三個層次的學習經歷了自主梳理、自主建構知識網絡的過程。1.讓學生自己說出立體圖形體積計算公式。學生通過思維再現、記憶提煉，有了初步的記憶表象，這是整理知識的重要基礎。2.先讓學生自主整理，再讓每個學生在小組里交流自己的整理思路，在相互補充過程中逐步完善，最后讓各小組派代表全班交流。學生通過交流、質疑、爭論、討論，激起智慧的碰撞、情感的共鳴，使知識本質更加清晰，記憶更加深刻。3.整理出簡潔清晰、一目了然的關系圖。學生最終形成的知識系統，是群體智慧的結晶。當學生的整理結果能揭示知識間的聯系，形成較為完整的知識系統，完全可以通過比較、評價，選出最優方案，用學生“作品”構建知識網絡。當學生“作品”還不能滿足“形成完整知識系統”這一目標時，教師應引導學生對小組整理結果進行觀察、比較、建立縱向與橫向聯系，不斷補充與完善，形成完整知識系統。“知識讓學生梳理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構”真正把握住了有效復習的關鍵點。

三步曲：分層練習，突出重點——選好有效復習的著力點

復習課的功能不但要幫助學生建立起完整的知識網絡，更應提高學生解決實際問題能力，因而，鞏固練習應突出練習的綜合性、靈活性和發展性。通過一定的練習，使學生進一步深化知識網絡。由于復習的內容較多，一節課的復習中不能面面俱到，而應點到為止，更要突出重點，練習要練在教學的重點、學生的難點處。如“立體圖形的體積復習”的鞏固階段，把練習的重點定位在“柱體”的體積計算和利用“等積變形”解決一些現實中的生活問題。

[案例描述三]

1.“柱體體積”的巧算。

（1）為什么長方體、正方體、圓柱的體積都可以用“底面積×高”來計算？

（2）下面的圖形是不是柱體？

生：根據“等積變形”，橡皮泥體積不變，圓錐和圓柱的高又相等，那么圓錐的底面積只有變大到圓柱的3倍，12×3=36（平方厘米）。（課件展示學生思路）

（3）腦筋急轉彎：將一個底面是15.7平方厘米，高10厘米的圓柱形鋼材鍛造成一個與它底面積相等的圓錐，圓錐的高是多少分米？

（4）一個圓柱與一個圓錐等底等高，已知圓柱的體積比圓錐的體積大36立方厘米，那么圓錐的體積是（ ）立方厘米，圓柱的體積是（ ）立方厘米。

（5）把一段圓柱形的木料削成一個最大的圓錐，削去部分的體積是50立方分米，這段木料的體積是（ ）立方分米。

四步曲：綜合應用，拓展提升——重視有效復習的延伸點

復習課可以延伸、拓寬，應“下要保底，上不封頂”，讓不同層次的學生都有不同程度的提高。如“立體圖形的體積復習”的課尾階段，借助“等積變形”的數學思想，解決一些現實中的更難的生活問題。

[案例描述四]

1.你知道金魚的體積是多少嗎？

（1）把一條金魚完全浸沒在一個底面直徑是20厘米，水深12厘米的圓柱形容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

（2）把另一條金魚也完全浸沒在一個長為20厘米，寬為12厘米，高為15厘米的長方體容器中，水沒有溢出，且量得水面上升了2厘米。這條金魚的體積是多少立方厘米？

2.你知道酒瓶的容積是多少嗎？

一個酒瓶里面深30厘米，底面直徑是8厘米，瓶里有酒深10厘米，把酒瓶塞緊后倒置（瓶口向下），這時酒深20厘米，你能算出酒瓶的容積是多少毫升來嗎？

3.你知道路能鋪多長嗎？

一個圓錐形的沙堆，底面積是15平方米，高1.2米。用這堆沙在10米寬的公路上鋪2厘米厚的路面，能鋪多長？

[分析]上述教學中，“你知道金魚的體積是多少嗎？”無論是用圓柱體的容器，還是長方體的容器，都是通過“等積變形”把金魚的體積轉化為上升水柱（實為圓柱體或長方體形狀的柱體）的體積；“你知道酒瓶的容積是多少嗎？”事實上是通過“等積變形”把不規則的酒瓶轉化成底面直徑是8厘米，高為30—20+10=20（厘米）的圓柱的體積；而“你知道路能鋪多長嗎？”實際上是把圓錐形的沙堆通過“等積變形”轉化成體積相等的長方體的體積，通過“長方體的高（鋪多厚）=長方體的體積（圓錐形沙堆的體積）÷長方體的底面積”，求出能鋪多長的路。這些都需要學生有一定的思維能力和綜合解題能力，但由于學生真正理解了“等積變形”，難題也變得簡單了。因此，復習課的拓展提升，就應該在培養學生思維的靈活性和創造性多下功夫，切實培養學生解決實際生活問題的能力。

總之，小學數學復習課要真正上好、上出實效并不容易，需要教師在實踐中摸索，充分相信學生的潛能，在課堂教學中努力做到“知識讓學生疏理、規律讓學生尋找、網絡讓學生建構、對錯讓學生判斷、成功讓學生體驗”，只有這樣才能真正達到“抓住雙基串成線、溝通聯系連成片、溫故知新補缺漏、融會貫通更熟練、綜合能力大發展”的復習目標。endprint