幾何直觀視角的教學(xué)演繹

李慶海

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”，并具體解釋為“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題”。幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何圖形本身的意義。那么，教師如何挖掘教材資源，在基于幾何直觀視角下目標(biāo)優(yōu)化教學(xué)行為，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀的理解

幾何直觀不是一蹴而就可以培養(yǎng)的，而是一個長期的復(fù)雜的過程，是一個由具體到抽象、由實物到圖形的漫長過程。從直觀形態(tài)來看，可以分為三個維度：

1.實物直觀。即實物層面的幾何直觀，是指借助于研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷。

如教學(xué)“認(rèn)識十幾”一課時（如圖1），教師可以借助蠟筆、本子、珠子等實物直觀來認(rèn)識13，分別用一盒蠟筆和3支蠟筆、一捆作業(yè)本和3個作業(yè)本、一串珠子和3顆珠子來表征13，這里的3支蠟筆、3個作業(yè)本、3顆珠子表示3個1，一盒蠟筆、一捆作業(yè)本、一串珠子相當(dāng)于十，然后借助計數(shù)器，在個位上撥3顆珠子表示3個一，在十位上撥1顆珠子表示1個十，將計數(shù)器上的珠子與數(shù)關(guān)聯(lián)。用一盒、一捆、一串物體幫助學(xué)生建立計數(shù)單位“十”的直觀認(rèn)識。

2.符號直觀。即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀。

如教學(xué)“搭配的規(guī)律”時（如圖2），教材創(chuàng)設(shè)了給木偶娃娃選配帽子的情境，學(xué)生在搭配過程中，為了表達(dá)與交流的方便，需要一個更直觀的形式表示木偶

與帽子，可能會用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能會用其他的符號來代替，這種借助符號描述是符號化思想的滲透。用符號借助連線來表征搭配的方案，它就是符號直觀。

3.圖形直觀。即以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。

如教學(xué)“認(rèn)識鐘表”一課，學(xué)生對經(jīng)過的時間往往難以表達(dá)，教師教學(xué)時也較難處理。如這樣一個問題：同學(xué)們?nèi)ブ矘洌衔?時出發(fā)，11時返回，經(jīng)過多少時間？通常的做法是用11-9=2（小時）。而剛剛接觸這個問題時，如何讓學(xué)生在腦海里留下表征印象呢？我們可以將經(jīng)過的時間用來表征（如圖3）。

又如“8時開車出發(fā)，9時20分到達(dá)目的地，路上用了多少時間？”這個問題同樣可以用時間尺表示出來。如圖4用直條表示經(jīng)過的時間，通過幾何圖形，將空間的維度變成長度的問題，學(xué)生就很容易理解了。

學(xué)生思維的形象性與數(shù)學(xué)邏輯的抽象性是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要矛盾之一，學(xué)生感嘆數(shù)學(xué)難學(xué)難懂與此有關(guān)。而利用實物、符號、圖形等確實可以描述與分析問題，使凝煉的數(shù)學(xué)含義直觀化，紛繁的問題關(guān)系明晰化。

二、幾何直觀的教學(xué)實踐

1.概念教學(xué)：化抽象為直觀，發(fā)展表征概念的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識是伴隨著幾何意義而存在的，“圖形與幾何”領(lǐng)域自不必說，“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”中很多知識也蘊含著豐富的幾何直觀。在認(rèn)數(shù)的過程中，可以將數(shù)與幾何圖形對應(yīng)起來，對數(shù)的概念從幾何直觀的視角下進(jìn)行闡述，有利于學(xué)生形成概念表象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握。如教學(xué)“小數(shù)的意義”一課時，將小數(shù)置于數(shù)的系統(tǒng)之中，淡化“量”，突出“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖形來表征小數(shù)概念，幫助學(xué)生獲得清晰的小數(shù)概念的表象，逐步建構(gòu)小數(shù)概念的視覺表征系統(tǒng)，形成準(zhǔn)確感知現(xiàn)實世界的能力。

如“小數(shù)的意義”教學(xué)片段。

（1）圖形表征，感悟計數(shù)單位。

師：如果這個小方塊用來表示1（如圖5，圖片根據(jù)教學(xué)流程依次呈現(xiàn)），那么表示10會是多大呢？100呢？

師：那0.1該有多大呢？

請學(xué)生估計，并說出理由：把這個小方塊平均分成10份，其中的1份就是0.1。

師：那么0.01會是多大呢？

師：如果1這么大，那么10就是這么大，100就是這么大，1000呢？如果1是這么大，0.1就是這么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少個0.01？幾個0.1是1呢？幾個1是10呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

教材中認(rèn)識小數(shù)采用人民幣元角分、長度單位千米、米、分米、厘米、毫米等具體的量的互化來感知，這些素材學(xué)生在小數(shù)的初步認(rèn)識中已經(jīng)接觸，因此顯得意義不大。而在上面的教學(xué)片段中，教師拋棄這些具體的量的素材，通過借用豐富的幾何圖形表征，巧妙地凸顯了小數(shù)概念的本質(zhì)。

2.計算教學(xué)：數(shù)形巧妙結(jié)合，提升探究運算律的能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的思想方法，它倡導(dǎo)通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，以“代數(shù)問題幾何化”或“幾何問題代數(shù)化”來促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。計算教學(xué)中運算律的掌握是學(xué)生運算能力的重要體現(xiàn)，如果能將運算律知識與圖形內(nèi)容結(jié)合起來，就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。因此，教師應(yīng)充分運用數(shù)形結(jié)合的策略，引導(dǎo)學(xué)生依托鮮活的“行”去思考凝練的“數(shù)”。

“乘法分配律”的運用是教師公認(rèn)的“老大難”問題，學(xué)生在應(yīng)用時總會出現(xiàn)運算錯誤，主要形式有驗算錯誤“（a+b）×c=a×c+b”和與乘法結(jié)合律的混淆。問題的主要原因在于教學(xué)中只是建立了運算概念的表象，使得學(xué)生在知識結(jié)構(gòu)中沒有納入其本質(zhì)，即對乘法分配律引入的表征感悟不夠。有了這樣的思考，教師在設(shè)計“乘法分配律”的教學(xué)時，從幾何直觀的視角下進(jìn)行全新演繹：

（1）以形引數(shù)，以數(shù)表形。

借助直觀圖形一步一步提取基本模型，提取后再從數(shù)到形用直觀加以表征，數(shù)與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、對應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者承接內(nèi)聯(lián)、相互作用、相互影響，便于學(xué)生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質(zhì)。

3.解決問題教學(xué)：注重畫圖策略指導(dǎo)，提高解決問題能力。

在幾何直觀廣受關(guān)注的當(dāng)下，解決問題教學(xué)應(yīng)該重拾線段圖、加強線段圖教學(xué)的指導(dǎo)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，持續(xù)積累幾何直觀的操作經(jīng)驗，讓“畫圖試試”成為一種思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，提高解決問題的能力。

如“比的應(yīng)用”的教學(xué)片段。

（1）畫圖描述題意。

（2）交流畫法，學(xué)會畫圖。

問題：你們是怎樣畫圖的？畫圖時要注意什么？

交流時明確：畫圖時，每一份要畫得同樣多。

（3）比較。

這些圖形有什么相同的地方？從圖上可以看出橘子是怎樣分的？

（4）解決問題。

出示橘子一共有140個，求大班、小班各分得多少個橘子？

教師有意滲透幾何直觀意識，適當(dāng)放緩腳步，將分析題意與畫示意圖相結(jié)合，精心指導(dǎo)畫法，使學(xué)生產(chǎn)生一種遇到困難畫畫圖試試的意識，從而提高了學(xué)生解決問題的能力。

總之，用“幾何直觀”的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是幫助學(xué)生獲得畫圖解題的方法，而是要讓學(xué)生用幾何圖形形象地描述和分析問題，在畫圖的過程中有效經(jīng)歷自主解決問題的歷程，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，給學(xué)生的思維發(fā)展提供一條快捷的路徑。

責(zé)任編輯：徐新亮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”，并具體解釋為“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題”。幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何圖形本身的意義。那么，教師如何挖掘教材資源，在基于幾何直觀視角下目標(biāo)優(yōu)化教學(xué)行為，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀的理解

幾何直觀不是一蹴而就可以培養(yǎng)的，而是一個長期的復(fù)雜的過程，是一個由具體到抽象、由實物到圖形的漫長過程。從直觀形態(tài)來看，可以分為三個維度：

1.實物直觀。即實物層面的幾何直觀，是指借助于研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷。

如教學(xué)“認(rèn)識十幾”一課時（如圖1），教師可以借助蠟筆、本子、珠子等實物直觀來認(rèn)識13，分別用一盒蠟筆和3支蠟筆、一捆作業(yè)本和3個作業(yè)本、一串珠子和3顆珠子來表征13，這里的3支蠟筆、3個作業(yè)本、3顆珠子表示3個1，一盒蠟筆、一捆作業(yè)本、一串珠子相當(dāng)于十，然后借助計數(shù)器，在個位上撥3顆珠子表示3個一，在十位上撥1顆珠子表示1個十，將計數(shù)器上的珠子與數(shù)關(guān)聯(lián)。用一盒、一捆、一串物體幫助學(xué)生建立計數(shù)單位“十”的直觀認(rèn)識。

2.符號直觀。即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀。

如教學(xué)“搭配的規(guī)律”時（如圖2），教材創(chuàng)設(shè)了給木偶娃娃選配帽子的情境，學(xué)生在搭配過程中，為了表達(dá)與交流的方便，需要一個更直觀的形式表示木偶

與帽子，可能會用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能會用其他的符號來代替，這種借助符號描述是符號化思想的滲透。用符號借助連線來表征搭配的方案，它就是符號直觀。

3.圖形直觀。即以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。

如教學(xué)“認(rèn)識鐘表”一課，學(xué)生對經(jīng)過的時間往往難以表達(dá)，教師教學(xué)時也較難處理。如這樣一個問題：同學(xué)們?nèi)ブ矘洌衔?時出發(fā)，11時返回，經(jīng)過多少時間？通常的做法是用11-9=2（小時）。而剛剛接觸這個問題時，如何讓學(xué)生在腦海里留下表征印象呢？我們可以將經(jīng)過的時間用來表征（如圖3）。

又如“8時開車出發(fā)，9時20分到達(dá)目的地，路上用了多少時間？”這個問題同樣可以用時間尺表示出來。如圖4用直條表示經(jīng)過的時間，通過幾何圖形，將空間的維度變成長度的問題，學(xué)生就很容易理解了。

學(xué)生思維的形象性與數(shù)學(xué)邏輯的抽象性是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要矛盾之一，學(xué)生感嘆數(shù)學(xué)難學(xué)難懂與此有關(guān)。而利用實物、符號、圖形等確實可以描述與分析問題，使凝煉的數(shù)學(xué)含義直觀化，紛繁的問題關(guān)系明晰化。

二、幾何直觀的教學(xué)實踐

1.概念教學(xué)：化抽象為直觀，發(fā)展表征概念的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識是伴隨著幾何意義而存在的，“圖形與幾何”領(lǐng)域自不必說，“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”中很多知識也蘊含著豐富的幾何直觀。在認(rèn)數(shù)的過程中，可以將數(shù)與幾何圖形對應(yīng)起來，對數(shù)的概念從幾何直觀的視角下進(jìn)行闡述，有利于學(xué)生形成概念表象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握。如教學(xué)“小數(shù)的意義”一課時，將小數(shù)置于數(shù)的系統(tǒng)之中，淡化“量”，突出“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖形來表征小數(shù)概念，幫助學(xué)生獲得清晰的小數(shù)概念的表象，逐步建構(gòu)小數(shù)概念的視覺表征系統(tǒng)，形成準(zhǔn)確感知現(xiàn)實世界的能力。

如“小數(shù)的意義”教學(xué)片段。

（1）圖形表征，感悟計數(shù)單位。

師：如果這個小方塊用來表示1（如圖5，圖片根據(jù)教學(xué)流程依次呈現(xiàn)），那么表示10會是多大呢？100呢？

師：那0.1該有多大呢？

請學(xué)生估計，并說出理由：把這個小方塊平均分成10份，其中的1份就是0.1。

師：那么0.01會是多大呢？

師：如果1這么大，那么10就是這么大，100就是這么大，1000呢？如果1是這么大，0.1就是這么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少個0.01？幾個0.1是1呢？幾個1是10呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

教材中認(rèn)識小數(shù)采用人民幣元角分、長度單位千米、米、分米、厘米、毫米等具體的量的互化來感知，這些素材學(xué)生在小數(shù)的初步認(rèn)識中已經(jīng)接觸，因此顯得意義不大。而在上面的教學(xué)片段中，教師拋棄這些具體的量的素材，通過借用豐富的幾何圖形表征，巧妙地凸顯了小數(shù)概念的本質(zhì)。

2.計算教學(xué)：數(shù)形巧妙結(jié)合，提升探究運算律的能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的思想方法，它倡導(dǎo)通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，以“代數(shù)問題幾何化”或“幾何問題代數(shù)化”來促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。計算教學(xué)中運算律的掌握是學(xué)生運算能力的重要體現(xiàn)，如果能將運算律知識與圖形內(nèi)容結(jié)合起來，就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。因此，教師應(yīng)充分運用數(shù)形結(jié)合的策略，引導(dǎo)學(xué)生依托鮮活的“行”去思考凝練的“數(shù)”。

“乘法分配律”的運用是教師公認(rèn)的“老大難”問題，學(xué)生在應(yīng)用時總會出現(xiàn)運算錯誤，主要形式有驗算錯誤“（a+b）×c=a×c+b”和與乘法結(jié)合律的混淆。問題的主要原因在于教學(xué)中只是建立了運算概念的表象，使得學(xué)生在知識結(jié)構(gòu)中沒有納入其本質(zhì)，即對乘法分配律引入的表征感悟不夠。有了這樣的思考，教師在設(shè)計“乘法分配律”的教學(xué)時，從幾何直觀的視角下進(jìn)行全新演繹：

（1）以形引數(shù)，以數(shù)表形。

借助直觀圖形一步一步提取基本模型，提取后再從數(shù)到形用直觀加以表征，數(shù)與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、對應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者承接內(nèi)聯(lián)、相互作用、相互影響，便于學(xué)生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質(zhì)。

3.解決問題教學(xué)：注重畫圖策略指導(dǎo)，提高解決問題能力。

在幾何直觀廣受關(guān)注的當(dāng)下，解決問題教學(xué)應(yīng)該重拾線段圖、加強線段圖教學(xué)的指導(dǎo)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，持續(xù)積累幾何直觀的操作經(jīng)驗，讓“畫圖試試”成為一種思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，提高解決問題的能力。

如“比的應(yīng)用”的教學(xué)片段。

（1）畫圖描述題意。

（2）交流畫法，學(xué)會畫圖。

問題：你們是怎樣畫圖的？畫圖時要注意什么？

交流時明確：畫圖時，每一份要畫得同樣多。

（3）比較。

這些圖形有什么相同的地方？從圖上可以看出橘子是怎樣分的？

（4）解決問題。

出示橘子一共有140個，求大班、小班各分得多少個橘子？

教師有意滲透幾何直觀意識，適當(dāng)放緩腳步，將分析題意與畫示意圖相結(jié)合，精心指導(dǎo)畫法，使學(xué)生產(chǎn)生一種遇到困難畫畫圖試試的意識，從而提高了學(xué)生解決問題的能力。

總之，用“幾何直觀”的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是幫助學(xué)生獲得畫圖解題的方法，而是要讓學(xué)生用幾何圖形形象地描述和分析問題，在畫圖的過程中有效經(jīng)歷自主解決問題的歷程，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，給學(xué)生的思維發(fā)展提供一條快捷的路徑。

責(zé)任編輯：徐新亮

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的“幾何直觀”，并具體解釋為“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題”。幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長而且迷人的課題，在內(nèi)容上、意義上和方法上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了幾何圖形本身的意義。那么，教師如何挖掘教材資源，在基于幾何直觀視角下目標(biāo)優(yōu)化教學(xué)行為，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀呢？

一、幾何直觀的理解

幾何直觀不是一蹴而就可以培養(yǎng)的，而是一個長期的復(fù)雜的過程，是一個由具體到抽象、由實物到圖形的漫長過程。從直觀形態(tài)來看，可以分為三個維度：

1.實物直觀。即實物層面的幾何直觀，是指借助于研究對象有著一定關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實世界中的實際存在物，借助其與研究對象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得針對研究對象的深刻判斷。

如教學(xué)“認(rèn)識十幾”一課時（如圖1），教師可以借助蠟筆、本子、珠子等實物直觀來認(rèn)識13，分別用一盒蠟筆和3支蠟筆、一捆作業(yè)本和3個作業(yè)本、一串珠子和3顆珠子來表征13，這里的3支蠟筆、3個作業(yè)本、3顆珠子表示3個1，一盒蠟筆、一捆作業(yè)本、一串珠子相當(dāng)于十，然后借助計數(shù)器，在個位上撥3顆珠子表示3個一，在十位上撥1顆珠子表示1個十，將計數(shù)器上的珠子與數(shù)關(guān)聯(lián)。用一盒、一捆、一串物體幫助學(xué)生建立計數(shù)單位“十”的直觀認(rèn)識。

2.符號直觀。即簡約符號層面的幾何直觀，是在實物直觀的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一定程度的抽象，所形成的、半符號化的直觀。

如教學(xué)“搭配的規(guī)律”時（如圖2），教材創(chuàng)設(shè)了給木偶娃娃選配帽子的情境，學(xué)生在搭配過程中，為了表達(dá)與交流的方便，需要一個更直觀的形式表示木偶

與帽子，可能會用三角表示帽子，梯形表示木偶，也可能會用其他的符號來代替，這種借助符號描述是符號化思想的滲透。用符號借助連線來表征搭配的方案，它就是符號直觀。

3.圖形直觀。即以明確的幾何圖形為載體的幾何直觀。

如教學(xué)“認(rèn)識鐘表”一課，學(xué)生對經(jīng)過的時間往往難以表達(dá)，教師教學(xué)時也較難處理。如這樣一個問題：同學(xué)們?nèi)ブ矘洌衔?時出發(fā)，11時返回，經(jīng)過多少時間？通常的做法是用11-9=2（小時）。而剛剛接觸這個問題時，如何讓學(xué)生在腦海里留下表征印象呢？我們可以將經(jīng)過的時間用來表征（如圖3）。

又如“8時開車出發(fā)，9時20分到達(dá)目的地，路上用了多少時間？”這個問題同樣可以用時間尺表示出來。如圖4用直條表示經(jīng)過的時間，通過幾何圖形，將空間的維度變成長度的問題，學(xué)生就很容易理解了。

學(xué)生思維的形象性與數(shù)學(xué)邏輯的抽象性是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要矛盾之一，學(xué)生感嘆數(shù)學(xué)難學(xué)難懂與此有關(guān)。而利用實物、符號、圖形等確實可以描述與分析問題，使凝煉的數(shù)學(xué)含義直觀化，紛繁的問題關(guān)系明晰化。

二、幾何直觀的教學(xué)實踐

1.概念教學(xué)：化抽象為直觀，發(fā)展表征概念的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)知識是伴隨著幾何意義而存在的，“圖形與幾何”領(lǐng)域自不必說，“數(shù)與代數(shù)”、“統(tǒng)計與概率”中很多知識也蘊含著豐富的幾何直觀。在認(rèn)數(shù)的過程中，可以將數(shù)與幾何圖形對應(yīng)起來，對數(shù)的概念從幾何直觀的視角下進(jìn)行闡述，有利于學(xué)生形成概念表象，促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的理解和掌握。如教學(xué)“小數(shù)的意義”一課時，將小數(shù)置于數(shù)的系統(tǒng)之中，淡化“量”，突出“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生用直觀圖形來表征小數(shù)概念，幫助學(xué)生獲得清晰的小數(shù)概念的表象，逐步建構(gòu)小數(shù)概念的視覺表征系統(tǒng)，形成準(zhǔn)確感知現(xiàn)實世界的能力。

如“小數(shù)的意義”教學(xué)片段。

（1）圖形表征，感悟計數(shù)單位。

師：如果這個小方塊用來表示1（如圖5，圖片根據(jù)教學(xué)流程依次呈現(xiàn)），那么表示10會是多大呢？100呢？

師：那0.1該有多大呢？

請學(xué)生估計，并說出理由：把這個小方塊平均分成10份，其中的1份就是0.1。

師：那么0.01會是多大呢？

師：如果1這么大，那么10就是這么大，100就是這么大，1000呢？如果1是這么大，0.1就是這么大，0.01呢？0.001呢？1里面有多少個0.01？幾個0.1是1呢？幾個1是10呢？你發(fā)現(xiàn)了什么？

教材中認(rèn)識小數(shù)采用人民幣元角分、長度單位千米、米、分米、厘米、毫米等具體的量的互化來感知，這些素材學(xué)生在小數(shù)的初步認(rèn)識中已經(jīng)接觸，因此顯得意義不大。而在上面的教學(xué)片段中，教師拋棄這些具體的量的素材，通過借用豐富的幾何圖形表征，巧妙地凸顯了小數(shù)概念的本質(zhì)。

2.計算教學(xué)：數(shù)形巧妙結(jié)合，提升探究運算律的能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的思想方法，它倡導(dǎo)通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，以“代數(shù)問題幾何化”或“幾何問題代數(shù)化”來促進(jìn)數(shù)學(xué)理解。計算教學(xué)中運算律的掌握是學(xué)生運算能力的重要體現(xiàn)，如果能將運算律知識與圖形內(nèi)容結(jié)合起來，就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。因此，教師應(yīng)充分運用數(shù)形結(jié)合的策略，引導(dǎo)學(xué)生依托鮮活的“行”去思考凝練的“數(shù)”。

“乘法分配律”的運用是教師公認(rèn)的“老大難”問題，學(xué)生在應(yīng)用時總會出現(xiàn)運算錯誤，主要形式有驗算錯誤“（a+b）×c=a×c+b”和與乘法結(jié)合律的混淆。問題的主要原因在于教學(xué)中只是建立了運算概念的表象，使得學(xué)生在知識結(jié)構(gòu)中沒有納入其本質(zhì)，即對乘法分配律引入的表征感悟不夠。有了這樣的思考，教師在設(shè)計“乘法分配律”的教學(xué)時，從幾何直觀的視角下進(jìn)行全新演繹：

（1）以形引數(shù)，以數(shù)表形。

借助直觀圖形一步一步提取基本模型，提取后再從數(shù)到形用直觀加以表征，數(shù)與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、對應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者承接內(nèi)聯(lián)、相互作用、相互影響，便于學(xué)生更深刻地理解知識，更全面地揭示知識的本質(zhì)。

3.解決問題教學(xué)：注重畫圖策略指導(dǎo)，提高解決問題能力。

在幾何直觀廣受關(guān)注的當(dāng)下，解決問題教學(xué)應(yīng)該重拾線段圖、加強線段圖教學(xué)的指導(dǎo)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，持續(xù)積累幾何直觀的操作經(jīng)驗，讓“畫圖試試”成為一種思維習(xí)慣，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，提高解決問題的能力。

如“比的應(yīng)用”的教學(xué)片段。

（1）畫圖描述題意。

（2）交流畫法，學(xué)會畫圖。

問題：你們是怎樣畫圖的？畫圖時要注意什么？

交流時明確：畫圖時，每一份要畫得同樣多。

（3）比較。

這些圖形有什么相同的地方？從圖上可以看出橘子是怎樣分的？

（4）解決問題。

出示橘子一共有140個，求大班、小班各分得多少個橘子？

教師有意滲透幾何直觀意識，適當(dāng)放緩腳步，將分析題意與畫示意圖相結(jié)合，精心指導(dǎo)畫法，使學(xué)生產(chǎn)生一種遇到困難畫畫圖試試的意識，從而提高了學(xué)生解決問題的能力。

總之，用“幾何直觀”的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅僅是幫助學(xué)生獲得畫圖解題的方法，而是要讓學(xué)生用幾何圖形形象地描述和分析問題，在畫圖的過程中有效經(jīng)歷自主解決問題的歷程，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，給學(xué)生的思維發(fā)展提供一條快捷的路徑。

責(zé)任編輯：徐新亮