在解題中發(fā)現(xiàn) 在探究中升華

周海娟

摘 要：接受、記憶、模仿和練習是數(shù)學常規(guī)教學中的基礎(chǔ)，但絕不是目的和根本。高中數(shù)學課程更應該倡導學生的自主探究，動手實踐，合作交流，使學生在學習活動中成為“創(chuàng)造者”，而不是“模仿者”。探討從例題講解到“探究，拓展”的幾個可行性階段，使學生在學習數(shù)學的過程中，得到更有效的思維鍛煉，真正實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：教學反思；數(shù)學探究；自主學習；教育價值

一、背景

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探究，動手實踐，合作交流等學習數(shù)學的方式，使學習活動成為在教師引導下“再創(chuàng)造”的過程。人們在學習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題時，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象等思維過程，這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數(shù)學模式進行思考和作出判斷。

對于例題的講解，通常分為緊密聯(lián)系的三個層次：感受、理解；思考、運用；探究、拓展，但教師的教學通常會到第二層次，無視或忽視了第三層次。事實上，“探究、拓展”中含有豐富的資源，可以充分挖掘，整合。其核心思想是將第一思考時間還給學生，將第一表達機會還給學生，將第一反思機會還給學生。數(shù)學探究是學生學習的心理回歸，是數(shù)學教學的學術(shù)回歸。它有利于學生深入理解數(shù)學知識，把握數(shù)學的思想方法。基于此，教師要明確如何通過課堂例題的教學向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學思維方式的形成過程，并努力構(gòu)建基于數(shù)學學科本質(zhì)的探究。

二、案例

例1.當函數(shù)f（x）=（x2-2x）ex取得最小值時，x的值是（ ）

A.2 B.-2 C. D.-

分析：f′（x）=ex（x2-2），令f′（x）=0，則x=±

畫出f（x），f′（x）的表格如下：

選C

例2.（2005，全國卷II）已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x2-ax）ex

（1）當x為何值時，f（x）取得最小值，證明你的結(jié)論；

（2）設(shè)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。

分析：（1）f′（x）=[x2-（2a-1）x-2a]·ex

令f（x）=0，則x= =a-1±

令x1=a-1- ，x2=a-1+ ，

畫出f（x），f′（x）的表格如下：

故當x=x2=a-1+ 時，f（x）取得最小值。

（2）略解：已知a≥0，有a-1- <-1，a-1+ ≥a≥0

故[-1，1]？哿（x1，x2），只需a-1- ≥-1即可，解得a≥

通常在講解完這兩道例題之后，大部分學生會就此結(jié)束思考、探究，匆忙進入下一個環(huán)節(jié)的問題解決中。這種情況下，教師不妨引導學生觀察，這兩道例題研究的函數(shù)有沒有什么共同的特征？最終都歸結(jié)于研究什么樣的函數(shù)問題上呢？

可以發(fā)現(xiàn)，形如函數(shù)y=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）有著千絲萬縷的關(guān)系。

這時，教師就可以帶領(lǐng)學生利用《幾何畫板》共同來探究函數(shù) f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）的性質(zhì)和圖象：

f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]·ex+m

設(shè)Δ=b2-4ac，Δ′=（2a+b）2-4a（b+c）=4a2+b2-4ac=4a2+Δ

（1）若Δ=0，有Δ′>0，此時函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m與y=ax2+bx+c有相同的零點x0=- ，而f′（x）=0有兩個不同的根x′1和x′2 （x′1

借助《幾何畫板》，畫出f（x）的圖象大致如圖1、圖2。

圖1（a>0） 圖2（a<0）

（2）若Δ>0，有Δ′>0，函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m與y=ax2+bx+c有相同的零點x1和x2（x1

畫出f（x）圖象大致如圖3、圖4。

圖3（a>0） 圖4（a<0）

（3）若Δ<0，有Δ′>0仍成立，但f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m與y=ax2+bx+c均沒有零點，此時f′（x）=0仍有兩個不同的根x′1和x′2（x′1

圖5（a>0） 圖6（a<0）

綜上研究，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）的零點，極值，單調(diào)性與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)密切相關(guān)，我們可以總結(jié)出如下的結(jié)論：

①當Δ=b2-4ac=0時，有Δ′=4a2+Δ>0，函數(shù)f（x）有一個零點 x0=- 和兩個極值點x0-2及x0，其中x0為最小值點，且恒有f（x）≥0（a>0），或x0為最大值點，且恒有f（x）≤0（a<0）.

②當Δ=b2-4ac=0，有Δ′=4a2+Δ>0，函數(shù)f（x）有兩個零點和兩個極值點，其中x′2是最小值點（a>0）或是最大值點（a<0）.

③當Δ=b2-4ac=0，但Δ′=4a2+Δ>0，時，函數(shù)y=（ax2+bx+c）ex+m（a≠0，x∈R）沒有零點，但有兩個極值點，無最值點。且恒有f（x）>0（a>0），或f（x）<0（a<0）.

三、思考

“學之道在于悟”，如果在解決問題之后將其束之高閣，理解也就停留在較低經(jīng)驗水平之上，難以上升到理性階段，也難以真正提高學生數(shù)學思維能力。數(shù)學作為一門“觀察的科學”，探究顯得尤為重要。而“探究”，顧名思義包含了“探”與“究”兩層意思。“探”是“探索，探導”，核心是“發(fā)現(xiàn)，提出問題”；“究”是“研究，深究”，核心是“解決，升華問題”。從教學實踐中，我認為，從例題講解到“探究，拓展”可以有這么三個階段：

1.深入觀察，洞悉本質(zhì)

波利亞給教師的箴言：要找出手邊那些對后來解題有用的特征——即設(shè)法去揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模式。例題就是一道門戶，把學生引入一個完整的領(lǐng)域，譬如這個案例，讓學生從二道例題的解決中發(fā)現(xiàn)f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不僅在形式上有共通之處，而且最終解決的落腳點都歸結(jié)到研究一個二次函數(shù)的方程根問題上，洞悉問題的本質(zhì)。

2.順水推舟，引導探究

“探究”是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉。探究能力的培養(yǎng)應貫穿在教學的全過程中，教師應有一種本領(lǐng)，能把學生頭腦中模糊的認識“擠”出來。學生通過初步觀察，有了一定的基本想法，而這只是露在“水”面以上的部分，只注意到問題的基本結(jié)構(gòu)特征，解題的一般思路，這時，教師可以順“水”推舟，適時引導，開發(fā)“水”面以下的部分，即探究問題的本質(zhì)是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引導學生做進一步的探究，為學生導航，讓學生有“的”放矢，教師“導”而代，消除學生的依賴心理，克服惰性思維，主動探究，啟迪學生的創(chuàng)造性思維。

3.自主反思，提煉升華

“探究”只是手段，數(shù)學思想方法才是靈魂。布魯納說：“掌握數(shù)學思想和方法可使數(shù)學更容易理解和更容易記憶，更重要的是，領(lǐng)會基本思想和方法是通向遷移大道的光明之路。”數(shù)學思想方法的滲透應該秉承數(shù)學教育家傅仲孫先生所說的“思想方法為經(jīng)，教材知識為緯”的理念，細化在每一個教學環(huán)節(jié)中。比如這個案例，最后通過幾何畫板，分類討論出各種可能情形，并畫出圖形，在形與數(shù)的轉(zhuǎn)換過程中，讓學生體會數(shù)形結(jié)合，特殊到一般的數(shù)學思想方法，體會直觀到抽象，感性到理性的認知過程。

“數(shù)學是思維的體操”，加里寧的這句名言揭示了數(shù)學學習的本質(zhì)是一種思維活動。數(shù)學學習不是簡單的“告訴”。講數(shù)學問題一定不能太“功利”，太功利最后可能無利！通過問題的驅(qū)動，立足于問題的解決過程，讓學生自己主動地識別、觀察、分析、綜合、啟迪和訓練學生的思維，促進學生對所學內(nèi)容的深刻理解。使學生真正實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學生的自我探究能力，享受學習數(shù)學所帶來的樂趣。

“給學生一個活性的大腦”，應該是數(shù)學教育最好的“教育價值”！

（作者單位 福建省福州第三中學）

編輯 薄躍華endprint

1.深入觀察，洞悉本質(zhì)

波利亞給教師的箴言：要找出手邊那些對后來解題有用的特征——即設(shè)法去揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模式。例題就是一道門戶，把學生引入一個完整的領(lǐng)域，譬如這個案例，讓學生從二道例題的解決中發(fā)現(xiàn)f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不僅在形式上有共通之處，而且最終解決的落腳點都歸結(jié)到研究一個二次函數(shù)的方程根問題上，洞悉問題的本質(zhì)。

2.順水推舟，引導探究

“探究”是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉。探究能力的培養(yǎng)應貫穿在教學的全過程中，教師應有一種本領(lǐng)，能把學生頭腦中模糊的認識“擠”出來。學生通過初步觀察，有了一定的基本想法，而這只是露在“水”面以上的部分，只注意到問題的基本結(jié)構(gòu)特征，解題的一般思路，這時，教師可以順“水”推舟，適時引導，開發(fā)“水”面以下的部分，即探究問題的本質(zhì)是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引導學生做進一步的探究，為學生導航，讓學生有“的”放矢，教師“導”而代，消除學生的依賴心理，克服惰性思維，主動探究，啟迪學生的創(chuàng)造性思維。

3.自主反思，提煉升華

“探究”只是手段，數(shù)學思想方法才是靈魂。布魯納說：“掌握數(shù)學思想和方法可使數(shù)學更容易理解和更容易記憶，更重要的是，領(lǐng)會基本思想和方法是通向遷移大道的光明之路。”數(shù)學思想方法的滲透應該秉承數(shù)學教育家傅仲孫先生所說的“思想方法為經(jīng)，教材知識為緯”的理念，細化在每一個教學環(huán)節(jié)中。比如這個案例，最后通過幾何畫板，分類討論出各種可能情形，并畫出圖形，在形與數(shù)的轉(zhuǎn)換過程中，讓學生體會數(shù)形結(jié)合，特殊到一般的數(shù)學思想方法，體會直觀到抽象，感性到理性的認知過程。

“數(shù)學是思維的體操”，加里寧的這句名言揭示了數(shù)學學習的本質(zhì)是一種思維活動。數(shù)學學習不是簡單的“告訴”。講數(shù)學問題一定不能太“功利”，太功利最后可能無利！通過問題的驅(qū)動，立足于問題的解決過程，讓學生自己主動地識別、觀察、分析、綜合、啟迪和訓練學生的思維，促進學生對所學內(nèi)容的深刻理解。使學生真正實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學生的自我探究能力，享受學習數(shù)學所帶來的樂趣。

“給學生一個活性的大腦”，應該是數(shù)學教育最好的“教育價值”！

（作者單位 福建省福州第三中學）

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1.深入觀察，洞悉本質(zhì)

波利亞給教師的箴言：要找出手邊那些對后來解題有用的特征——即設(shè)法去揭示出隱藏在眼前具體情形中的一般模式。例題就是一道門戶，把學生引入一個完整的領(lǐng)域，譬如這個案例，讓學生從二道例題的解決中發(fā)現(xiàn)f（x）=（x2-2x）·ex和f（x）=（x2-2ax）·ex，不僅在形式上有共通之處，而且最終解決的落腳點都歸結(jié)到研究一個二次函數(shù)的方程根問題上，洞悉問題的本質(zhì)。

2.順水推舟，引導探究

“探究”是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的源泉。探究能力的培養(yǎng)應貫穿在教學的全過程中，教師應有一種本領(lǐng)，能把學生頭腦中模糊的認識“擠”出來。學生通過初步觀察，有了一定的基本想法，而這只是露在“水”面以上的部分，只注意到問題的基本結(jié)構(gòu)特征，解題的一般思路，這時，教師可以順“水”推舟，適時引導，開發(fā)“水”面以下的部分，即探究問題的本質(zhì)是什么？譬如：提出如果是f（x）=（ax2+bx+c）·ex+m（a≠0，x∈R）呢？引導學生做進一步的探究，為學生導航，讓學生有“的”放矢，教師“導”而代，消除學生的依賴心理，克服惰性思維，主動探究，啟迪學生的創(chuàng)造性思維。

3.自主反思，提煉升華

“探究”只是手段，數(shù)學思想方法才是靈魂。布魯納說：“掌握數(shù)學思想和方法可使數(shù)學更容易理解和更容易記憶，更重要的是，領(lǐng)會基本思想和方法是通向遷移大道的光明之路。”數(shù)學思想方法的滲透應該秉承數(shù)學教育家傅仲孫先生所說的“思想方法為經(jīng)，教材知識為緯”的理念，細化在每一個教學環(huán)節(jié)中。比如這個案例，最后通過幾何畫板，分類討論出各種可能情形，并畫出圖形，在形與數(shù)的轉(zhuǎn)換過程中，讓學生體會數(shù)形結(jié)合，特殊到一般的數(shù)學思想方法，體會直觀到抽象，感性到理性的認知過程。

“數(shù)學是思維的體操”，加里寧的這句名言揭示了數(shù)學學習的本質(zhì)是一種思維活動。數(shù)學學習不是簡單的“告訴”。講數(shù)學問題一定不能太“功利”，太功利最后可能無利！通過問題的驅(qū)動，立足于問題的解決過程，讓學生自己主動地識別、觀察、分析、綜合、啟迪和訓練學生的思維，促進學生對所學內(nèi)容的深刻理解。使學生真正實現(xiàn)由“學會”到“會學”的轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)學生的自我探究能力，享受學習數(shù)學所帶來的樂趣。

“給學生一個活性的大腦”，應該是數(shù)學教育最好的“教育價值”！

（作者單位 福建省福州第三中學）

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