證明不等式的幾種常見策略

邵少婷

對選修4-5《不等式選講》的考查，不同的省份有不同的要求.有的省份要求《幾何證明選講》、《極坐標和參數方程》各出一道解答題，選一道解答；有的省份是各出一道填空題，選兩道做答.浙江省獨具特色，9門學科各出2題組成一張有18道題目的“自選模塊”試卷，從18題任選6題解答，供考重點批的考生做，共60分計入總分，其中3和4號兩大數學題起了決定性作用，其中10分的不等式證明有“秒殺”之稱，有思路的就10分，沒有思路不得分.知識點集中在絕對值不等式、均值不等式和柯西不等式，以求證題居多，題干簡練，題意清晰，有些考生就是一時半會找不到證明思路而錯失良機，連步驟分都沒有.筆者針對這一塊內容結合自己的教學體會談幾種常見證明策略.

1.熟悉結論，輕車熟路

有些題目在起初幾步變形后或中間放縮過程，就能發現其中隱含著常用結論，略加證明，就大功告成.對一些常用結論來龍去脈互相推導要心中有數，并能很快獨立證明.作為結論記憶為了縮短思考問題的時間，筆者將常用結論、變化規律及在選修4-5書中分布頁碼制成網絡圖如下：2.仔細觀察，識別偽裝

有些不等式既不輪換對稱，又無規律可尋，考生無從下手，這是由于在原定理或常用重要結論中，加入或替換某些“部件”，造成視覺障礙，暫時看不出證題思路，但只要識破這一“陰謀”，證明也就不難了.

可以看出此題“偽裝”巧妙之處是對一個重要不等式左邊替換成兩項相同，造成不對稱，并且出現輪換，搞得我們眼花繚亂，很難發現其中奧妙.

3.拆湊組裝，原形畢露

4.巧設主元，絕處逢生

在一些非輪換對稱不等式證明中，若難以發現它們的拆變組合，也可以設其中一個少而簡單的字母為主元，其它字母為已知數，借助函數（導數）知識解決，也不失為一種妙法.

6.強強聯合，所向披靡

縱觀浙江省近4年自選模塊試題，單一用某個知識點較少，一般均值不等式和柯西不等式強強聯合使用.

當然，這些策略和方法不是孤立的，而是相互聯系，相輔相成的，同時也是建立在代數式的恒等變形基礎上，不得不承認這是新課改后高中生所欠缺的，屬于“先天性營養不良”（初中教學要求降低所至），所以老師在講方法策略時，不要忘了訓練學生恒等變形能力，這樣才能確保學生證題綜合實力的提高.

（收稿日期：2013-08-14）

對選修4-5《不等式選講》的考查，不同的省份有不同的要求.有的省份要求《幾何證明選講》、《極坐標和參數方程》各出一道解答題，選一道解答；有的省份是各出一道填空題，選兩道做答.浙江省獨具特色，9門學科各出2題組成一張有18道題目的“自選模塊”試卷，從18題任選6題解答，供考重點批的考生做，共60分計入總分，其中3和4號兩大數學題起了決定性作用，其中10分的不等式證明有“秒殺”之稱，有思路的就10分，沒有思路不得分.知識點集中在絕對值不等式、均值不等式和柯西不等式，以求證題居多，題干簡練，題意清晰，有些考生就是一時半會找不到證明思路而錯失良機，連步驟分都沒有.筆者針對這一塊內容結合自己的教學體會談幾種常見證明策略.

1.熟悉結論，輕車熟路

有些題目在起初幾步變形后或中間放縮過程，就能發現其中隱含著常用結論，略加證明，就大功告成.對一些常用結論來龍去脈互相推導要心中有數，并能很快獨立證明.作為結論記憶為了縮短思考問題的時間，筆者將常用結論、變化規律及在選修4-5書中分布頁碼制成網絡圖如下：2.仔細觀察，識別偽裝

有些不等式既不輪換對稱，又無規律可尋，考生無從下手，這是由于在原定理或常用重要結論中，加入或替換某些“部件”，造成視覺障礙，暫時看不出證題思路，但只要識破這一“陰謀”，證明也就不難了.

可以看出此題“偽裝”巧妙之處是對一個重要不等式左邊替換成兩項相同，造成不對稱，并且出現輪換，搞得我們眼花繚亂，很難發現其中奧妙.

3.拆湊組裝，原形畢露

4.巧設主元，絕處逢生

在一些非輪換對稱不等式證明中，若難以發現它們的拆變組合，也可以設其中一個少而簡單的字母為主元，其它字母為已知數，借助函數（導數）知識解決，也不失為一種妙法.

6.強強聯合，所向披靡

縱觀浙江省近4年自選模塊試題，單一用某個知識點較少，一般均值不等式和柯西不等式強強聯合使用.

當然，這些策略和方法不是孤立的，而是相互聯系，相輔相成的，同時也是建立在代數式的恒等變形基礎上，不得不承認這是新課改后高中生所欠缺的，屬于“先天性營養不良”（初中教學要求降低所至），所以老師在講方法策略時，不要忘了訓練學生恒等變形能力，這樣才能確保學生證題綜合實力的提高.

（收稿日期：2013-08-14）

對選修4-5《不等式選講》的考查，不同的省份有不同的要求.有的省份要求《幾何證明選講》、《極坐標和參數方程》各出一道解答題，選一道解答；有的省份是各出一道填空題，選兩道做答.浙江省獨具特色，9門學科各出2題組成一張有18道題目的“自選模塊”試卷，從18題任選6題解答，供考重點批的考生做，共60分計入總分，其中3和4號兩大數學題起了決定性作用，其中10分的不等式證明有“秒殺”之稱，有思路的就10分，沒有思路不得分.知識點集中在絕對值不等式、均值不等式和柯西不等式，以求證題居多，題干簡練，題意清晰，有些考生就是一時半會找不到證明思路而錯失良機，連步驟分都沒有.筆者針對這一塊內容結合自己的教學體會談幾種常見證明策略.

1.熟悉結論，輕車熟路

有些題目在起初幾步變形后或中間放縮過程，就能發現其中隱含著常用結論，略加證明，就大功告成.對一些常用結論來龍去脈互相推導要心中有數，并能很快獨立證明.作為結論記憶為了縮短思考問題的時間，筆者將常用結論、變化規律及在選修4-5書中分布頁碼制成網絡圖如下：2.仔細觀察，識別偽裝

有些不等式既不輪換對稱，又無規律可尋，考生無從下手，這是由于在原定理或常用重要結論中，加入或替換某些“部件”，造成視覺障礙，暫時看不出證題思路，但只要識破這一“陰謀”，證明也就不難了.

可以看出此題“偽裝”巧妙之處是對一個重要不等式左邊替換成兩項相同，造成不對稱，并且出現輪換，搞得我們眼花繚亂，很難發現其中奧妙.

3.拆湊組裝，原形畢露

4.巧設主元，絕處逢生

在一些非輪換對稱不等式證明中，若難以發現它們的拆變組合，也可以設其中一個少而簡單的字母為主元，其它字母為已知數，借助函數（導數）知識解決，也不失為一種妙法.

6.強強聯合，所向披靡

縱觀浙江省近4年自選模塊試題，單一用某個知識點較少，一般均值不等式和柯西不等式強強聯合使用.

當然，這些策略和方法不是孤立的，而是相互聯系，相輔相成的，同時也是建立在代數式的恒等變形基礎上，不得不承認這是新課改后高中生所欠缺的，屬于“先天性營養不良”（初中教學要求降低所至），所以老師在講方法策略時，不要忘了訓練學生恒等變形能力，這樣才能確保學生證題綜合實力的提高.

（收稿日期：2013-08-14）