分片鋪設壓電梁彎曲分析的無網格法

袁學帥

（內蒙古民族大學數學學院，內蒙古通遼028043）

分片鋪設壓電梁彎曲分析的無網格法

袁學帥

（內蒙古民族大學數學學院，內蒙古通遼028043）

由不同材料層合而成的層合壓電結構中，各層之間的材料的不連續性使得采用無網格配點法處理此類問題時的精度降低.為解決這一問題，將整個問題區域根據材料屬性劃分成不同的子區域，在每個子區域內采用無網格配點法.為實現各子區域的“粘合”，在子區域的公共邊界上分別施加力、電相容性條件和位移、電勢連續性條件，導出子區域下的無網格配點法；并應用該方法對層合壓電結構在不同鋪設方式下的彎曲進行分析并比較.結果表明：分片鋪設壓電片時，對同樣體積大小的壓電材料，不同的壓電布置會產生不同的對形變的控制效果；采用上下對稱粘貼的的鋪設方式能實現較好的控制效果.

層合梁；壓電；分片鋪設；配點法

0 引言

壓電材料是一種智能材料，當壓電晶體受外力作用發生形變時，在它的表面上出現異號極化電荷，從而形成電場；同樣地，當對壓電晶體施加一電場時，由極化電荷作用而產生應變和應力.基于上述特點，壓電材料成為智能結構傳感器、驅動器的首選材料.由于壓電材料的力電耦合性，使解析求解壓電結構問題時非常困難，故尋求合理的數值方法對于求解壓電問題具有重要意義.

目前，利用無網格法在壓電結構力學分析取得了一定的成果.Liu等［1］采用基于徑向基函數插值的方法處理層合壓電結構的靜態撓度問題，Liew等［2］用無單元伽遼金方法在力電的共同作用下分析復合梁、板，上述都是基于弱式的方法. Chen等［3］采用局部徑向基配點法，解決了由不同材料層合而成的板、梁在力的作用下的應力應變問題.然而，類似的思想卻很少用在壓電層合材料問題中.

基于徑向基函數近似的配點法具有實現簡單和指數收斂性等優點［4］，然而在處理力電耦合的壓電層合結構時，由于各層之間的材料屬性不同而破壞了材料之間的連續性，光滑和全局的徑向基函數在解決這類問題時所得到的數值解往往精確度不高、穩定性差.基于上述缺點，可對整個求解域根據不同材料屬性劃分成相應的子區域，在子區域內采用無網格配點法，然后在子區域的公共邊界分別施加位移、電勢連續性條件和力、電相容性條件.這樣就使不同材料之間“粘合”起來，最后組裝總剛度矩陣，得出了求解層合壓電結構的子區域配點法，并已驗證此方法增強了數值解的精確性和穩定性.本文繼續應用該方法，在不同的鋪設方式、鋪設位置下，分析壓電結構的彎曲效果.

1 徑向基函數近似

考慮二維區域Ω內的一個場函數w(x)，首先對整個區域進行離散.xQ為區域內計算點，其支撐域內有n個節點xi(i=1，2，…，n)，可插值得到場函數w(x)在支撐域中的近似函數［5］

Ri(x)是關于x、xi的距離ri的徑向基函數，Pj(x)為多項式基函數.多項式基的個數取決于對重構的要求，一般來說，二維線性基取

二維二次基取

其中ai，bj為待定系數，通過支撐域內的n個節點的插值確定.使式（1）滿足計算點x周圍n個節點xi(i=1，2，…，n)的值，將得到n個線性方程：

然而，方程組（2）具有n個方程，未知數的個數卻有n+m個，因此可加入限制條件［6］

聯立（2）、（3），可得到

將式（5）代入式（1），得到

式中φi(i=1，2，…，n)為Φ(x)的分量.

2 壓電層合材料方程

2.1 子區域劃分

在層合壓電問題中，不同的材料有不同的材料屬性，各微分算子在不同的材料中會有很大差異.若將壓電結構作為整體考慮會引起計算精度的降低.基于此類問題，可將不同的壓電材料分區域處理.為簡便起見，以兩個區域為例.考慮區域Ω（邊界為?Ω）由兩個不同的開區域Ω1和Ω2組成，其邊界分別為?Ω1，?Ω2，公共邊界為S12，（如圖1所示）.定義閉區域：設位移、應力、電勢、電位移邊界分別為Su，St，S?，Sω，則St∪Su= Sω∪S?=?Ω，St∩Su=Sω∩S?=null.

2.2 壓電控制方程

考慮平面壓電問題，假設無外載電荷，極化方向沿厚度（Z軸）方向，在XZ平面下建立壓電控制方程［7］.在上述兩個子區域組成的問題域中，每個子區域內均為連續的.因此在各子區域均滿足力電耦合平衡方程、幾何方程及本構方程，如式（8）～（10）所示.

圖1 不同材料的子區域Fig.1 Two sub-domain of a problem w ithmaterial heterogeneity

力-電耦合平衡方程

幾何方程

力-電耦合的本構方程

電場強度與電勢的關系

其中，Lm，Le為微分算子，σ、ε分別為應力和應變向量，E、D、?分別表示電場強度、電位移和電勢.

邊界條件及連續性條件闡述如下，

a.自然邊界條件

b.本質邊界條件

對于一般彈性體，我們可考慮其位移、電勢的連續性和面力均衡的原則，且已證明同時考慮這兩個原則收斂效果更好［3］.因此，公共邊界的條件可表示為：

其中，qis表示為電荷面密度邊界上的給定面

電荷密度，t

i

表示力的自然邊界上給定的力，

，

分別為力、電本質邊界上給定的位移和電勢.n

m

為力邊界的法向分量，n

e

為電邊界的法向分量.

由（8）～（13）可得相應的子區域力-電耦合問題的基本方程為

對力-電耦合問題可施加（14）～（17）式所示的四個邊界條件，簡單表示為：

3 配點法的實現

設以下符號i=1，2表示不同介質，用配點法對求解域進行離散.Npi為區域Ωi中的節點數；自然邊界Sti上的節點數記為Nti；本質邊界Sui上的節點數為Nui；NS是公共邊界S12上的節點數.每個區域上的總結點數即為在每個子區域中，其場函數（u，w，?）可由此區域中的形函數插值近似（6）式得到：

其中，Φi、UiI分別為第i個區域的形函數向量和廣義節點位移向量.將（21）式代入（18）式可得到：

4 分片鋪設壓電結構的彎曲分析

圖2為分片鋪設情況示意圖.考慮圖2所示的分片鋪設壓電懸臂梁，對圖中不同鋪設情況下壓電懸臂梁的彎曲進行分析.基體層是厚度較大的無極化性質的AS/3501 Gr/ep基體，基體長度為100 mm，厚度為10 mm.壓電材料為PZT G-1195N，極化方向沿厚度方向.3種情況下壓電片的厚度均為1 mm.圖2中（a）壓電片長度為60 mm，（b）、（c）中壓電片的長度均為（a）中的一半.（b）中兩壓電片上下對稱鋪設，粘在基體表面，施加相反方向的電壓；（c）中兩壓電片也為上下對稱鋪設，但其內嵌到基體里面，表面和基體水平，同樣施以相反方向的電壓［8］.其材料屬性見表1.

圖2 分片鋪設情況Fig.2 Situationsof distributed piezoelectric patches

表1 材料屬性Table 1 Material property

首先對同樣體積大小的壓電材料，施加相同的電壓，考慮不同的鋪設方式對壓電懸臂梁的彎曲程度的影響.設壓電片左端到梁左邊界的距離為l（mm），3種情況下均取l=20，施加電壓均為100 V.圖2（a）方式將基體和壓電片分成兩個子區域，基體均分成51×6個數據點，壓電片均分成31×2個數據點，圖2（b）、（c）均將基體和壓電片分成3個子區域，上下壓電片均分成16×2個數據點，圖2（b）中基體均分成51×6個數據點，圖2（c）中基體均分成51×7個數據點.在子區域內采用無網格配點法，子域的交界面上分別施加位移、電勢連續性條件和力、電相容性條件，得到基體中軸線的彎曲情況如圖3所示.可以看出，3種鋪設方式下分析比較由壓電片產生的基體中軸線的撓度，采用圖3（b）、圖3（c）方式鋪設的效果均比圖3（a）顯著；采用圖3（c）方式鋪設時，執行器末端的撓度較大，對基體的變形影響較大；采用圖3（b）方式鋪設時，梁的撓度曲線較為光滑，彎曲效果較好，故能實現比較好的控制效果.

圖3 不同鋪設方式下基體中軸線的彎曲情況Fig.3 The bending ofmatrix axes for different distributed ways

然后分別取（l=2，6，10，14，18，22），在3種鋪設方式下，分析壓電片的不同位置對梁端點的撓度的影響，見表2.可以看出，同種電壓下，壓電片自基體左端向右移動時，產生的端點撓度逐漸增大.且采用圖3（b），圖3（c）方式鋪設時，執行器末端的撓度增長較快，控制效果顯著.

表2 相同電壓下（100 V）壓電片的鋪設模式和位置對端點撓度的影響Table 2 Theend pointdeflection of piezoelectric patchesof layingmodeand the location under the same voltage（100 V）

5 結語

本文根據層合壓電結構的不同材料屬性，將求解域劃分成相應的子區域，在子區域上應用基于徑向基函數的無網格配點法，并在子區域的公共邊界上分別施加位移、電勢連續性條件和力、電相容性條件.最后組裝總剛度矩陣，得出了求解層合壓電結構的子區域配點法，并應用于層合壓電結構中.通過數值算例結果表明，分片鋪設壓電片時，對同樣體積大小的壓電材料，不同的壓電布置會產生不同的對形變的控制效果.采用上下對稱粘貼式鋪設時，能達到比較好的控制效果.此方法可進一步應用到分片鋪設的壓電層合板結構中.

致謝

感謝蘇州大學姚林泉教授對論文撰寫中提出的重要修改和建議.

［1］Liu G R，Dai K L，Lim K M，et al.A radial point interpolation method for simulation of two-dimensional piezoelectric structures［J］.Smart M ater Struct，2003，12：171-180.

［2］Liew K M，Lim H K，Tan M J，et al.Analysis of lam inated com posite beam s and plates with piezoelectric patches using theel element-free Galerkin method［J］.Com put M ech，2002，29：486-497.

［3］Chen JS，Wang L H，Hu H Y，et al.Subdomain radial basis collocation method for heterogeneous media［J］. International Journal for Numerical M ethods in Engineering，2009，80（2）：163-190.

［4］Sharan M，Kansa E J，Gupta S.Applications of the multiquadric method for the solution of elliptic partial differential equations［J］.Appl M ath Com put，1997，84：275-302.

［5］Nayroles B，Touzot G，Villon P.Generalizing the finite element method：diffuse approximation and diffuse elements［J］.Comput Mech，1992，10（5）：307-318.

［6］Liu G R.M esh free methods：Moving beyond finite elementmethod［M］.Boca Raton：CRC Press LLC，2002.

［7］袁學帥，陳富軍，姚林泉.壓電層合結構的子域配點法［C］//2010全國壓電和聲波理論及器件技術研討會，2010，441-446.

YUAN Xue-shuai，CHEN Fu-jun，YAO Lin-quan. Subdomain collocation method for multilayered piezoelectric material［C］//Proceedings of the 2010 Sym posium on Piezoelectricity，Acoustic Waves and Device Applications，2010，441-446.（in Chinese）

［8］姚林泉，俞煥然.具有壓電材料薄板穩定性的有限元法［J］.蘭州大學學報，1999，35（1）：44-48.

YAO Lin-quan，YU Huan-ran.Finite elementmethod of stability for thin plate of piezoelectric material［J］. Journal of Lanzhou University，1999，35（1）：44-48.（in Chinese）

Analysis of piezoelectric beam with distributed patches using meshless method

YUAN Xue-shuai
（School of Mathematical，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China）

To improve the accuracy of meshless method for multilayered piezoelectric，the domain withproblem was divided into some sub-domains using point collocation method according to the materialproperties. On the interface of each sub-domain，the conditions of mechanical and electric reciprocity，displacement and electric potential continuity are imposed，which can be used to glue the two neighboringsub-domain solutions together. Then，a sub-domain point collocation method was presented to solve themultilayered piezoelectric problem and analyze the bending of piezoelectric patches distributed in differentways. The results show that different piezoelectric arrangements have different effects on deformation for thesame size of piezoelectric materials，and using the vertically symmetrical pasting can achieve better controleffect compared with the other ways.

multilayered beam；piezoelectric；distributed piezoelectric patches；point collocation method

O24

A

10.3969/j.issn.1674-2869.2014.01.015

1674－2869（2014）01－0074－05

本文編輯：龔曉寧

2013-10-25

袁學帥（1986-），男，山東濟寧人，助教，碩士.研究方向：計算數學和計算力學.