三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明。

例如：已知如圖1-1：D、E為△ABC內兩點，求證：AB+AC>BD+DE+CE.

證明：（法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM+AN > MD+DE+NE；（1）

在△BDM中，MB+MD>BD； （2）

在△CEN中，CN+NE>CE； （3）

由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

（法二：）如圖1-2， 延長BD交 AC于F，延長CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF> BD+DG+GF （三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

GF+FC>GE+CE（同上）………………………………（2）

DG+GE>DE（同上）……………………………………（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內角位置上，再利用外角定理。

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內的任一點，求證：∠BDC>∠BAC。

分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯系，可適當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內角的位置；

證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC

證法二：連接AD，并延長交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD

∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD

即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內角位置上，再利用不等式性質證明。

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。

例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。

分析：要證BE+CF>EF ，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN，EF移到同一個三角形中。

證明：在DA上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，

在△DBE和△DNE中：

∴

∴△DBE≌△DNE （SAS）

∴BE=NE（全等三角形對應邊相等）

同理可得：CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF。

注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然后用全等三角形的性質得到對應元素相等。

四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。

例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF

證明：延長ED至M，使DM=DE，連接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

∴

∴△BDE≌△CDM （SAS）

又∵∠1=∠2，∠3=∠4 （已知）

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）

∴∠3+∠2=90°

即：∠EDF=90°

∴∠FDM=∠EDF =90°

在△EDF和△MDF中

∴

∴△EDF≌△MDF （SAS）

∴EF=MF （全等三角形對應邊相等）

∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF

注：上題也可加倍FD，證法同上。

注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。

五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。

例如：如圖5-1：AD為 △ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。

分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到： AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+ BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。

證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE=2AD

∵AD為△ABC的中線 （已知）

∴BD=CD （中線定義）

在△ACD和△EBD中

∴

∴△ACD≌△EBD （SAS）

∴BE=CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB+AC>2AD。

（常延長中線加倍，構造全等三角形）

練習：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2， 求證EF=2AD。

六、截長補短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點。

求證：AB-AC>PB-PC。

分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關系定理證之，因為欲證的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN， 再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PN

即：AB-AC>PB-PC。

證明：（截長法）

在AB上截取AN=AC連接PN ， 在△APN和△APC中

∴

∴△APN≌△APC （SAS）

∴PC=PN （全等三角形對應邊相等）

∵在△BPN中，有 PB-PN

∴BP-PC

證明：（補短法） 延長AC至M，使AM=AB，連接PM，

在△ABP和△AMP中

∴△ABP≌△AMP （SAS）

∴

∴PB=PM （全等三角形對應邊相等）

又∵在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

∴AB-AC>PB-PC。

七、延長已知邊構造三角形：

例如：如圖7-1：已知AC=BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求證：AD=BC

分析：欲證 AD=BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據現有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設法作出新的角，且讓此角作為兩個三角形的公共角。

證明：分別延長DA，CB，它們的延長交于E點，

∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）

∴∠CAE=∠DBE =90° （垂直的定義）

在△DBE與△CAE中

∴△DBE≌△CAE （AAS）

∴

∴ED=EC EB=EA（全等三角形對應邊相等）

∴ED-EA=EC-EB

即：AD=BC。

（當條件不足時，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創造條件。）

八 、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解決。

例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC 求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關知識，必須把它轉化為三角形來解決。

證明：連接AC（或BD）

∵AB∥CD AD∥BC （已知）

∴∠1=∠2，∠3=∠4 （兩直線平行，內錯角相等）

在△ABC與△CDA中

∴

∴△ABC≌△CDA （ASA）

∴AB=CD（全等三角形對應邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。

例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長于E 。求證：BD=2CE

分析：要證BD=2CE，想到要構造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。

證明：分別延長BA，CE交于點F。

∵BE⊥CF （已知）

∴∠BEF=∠BEC=90° （垂直的定義）

在△BEF與△BEC中，

∴

∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴CE=FE=2/1CF （全等三角形對應邊相等）

∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）

∴∠BAC=∠CAF=90° ∠1+∠BDA=90°∠1+∠BFC=90°

∴∠BDA=∠BFC

在△ABD與△ACF中

∴△ABD≌△ACF （AAS）

∴

∴BD=CF （全等三角形對應邊相等）

∴BD=2CE

十、連接已知點，構造全等三角形。

例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點，且AB=DC，AC=BD，求證：∠A=∠D。

分析：要證∠A=∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB=DC和對頂角兩個條件，差一個條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A=∠D。

證明：連接BC，在△ABC和△DCB中

∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴

∴∠A=∠D （全等三角形對應邊相等）

十一、取線段中點構造全等三有形。

例如：如圖11-1：AB=DC，∠A=∠D 求證：∠ABC=∠DCB。

分析：由AB=DC，∠A=∠D，想到如取AD的中點N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN=CN，∠ABN=∠DCN。下面只需證∠NBC=∠NCB，再取BC的中點M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC=∠NCB。問題得證。

證明：取AD，BC的中點N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，

在△ABN和△DCN中

∴△ABN≌△DCN（SAS）

∴

∴∠ABN=∠DCNNB=NC（全等三角形對應邊、角相等）

在△NBM與△NCM中

∴△NMB≌△NCM，（SSS）

∴

∴∠NBC=∠NCB （全等三角形對應角相等）

∴∠NBC+∠ABN =∠NCB+∠DCN

即∠ABC=∠DCB。

總之，只有在教學中不斷總結、歸納和積累，就會有一些好的方法和技巧，對我們今后的教學會有很大的幫助，同時對學生的學習也有良好的效果。