淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)模型

施愛軍

數(shù)學(xué)模型是隨著數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而產(chǎn)生的，古老的計(jì)數(shù)工具和現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)模擬都可以看作為數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型能將數(shù)學(xué)里抽象的性質(zhì)和關(guān)系變得形象和具體，從而將一個(gè)數(shù)學(xué)問題變成一個(gè)實(shí)際問題，這樣就有利于學(xué)生來理解對應(yīng)數(shù)學(xué)問題中的性質(zhì)和關(guān)系.

在高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)目標(biāo)中，把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為課程的總目標(biāo).在目標(biāo)細(xì)則中也要求學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能并體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法，提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣并養(yǎng)成良好的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度，認(rèn)識數(shù)學(xué)價(jià)值并樹立良好的價(jià)值觀.因此如能在生活中找到其原型，將可以使抽象的數(shù)學(xué)理論與實(shí)際生活中的一些原理聯(lián)系起來，更有利于學(xué)生的掌握吸收.在實(shí)際教學(xué)中如能適時(shí)引入一些數(shù)學(xué)模型，不但能提高課堂教學(xué)效率，活躍課堂氣氛，而且能激發(fā)起學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用價(jià)值，從而能起到事半功倍的作用.

在實(shí)際的教育教學(xué)過程中，我將數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為如下這些類型：

一、身邊的數(shù)學(xué)模型

在我們的身邊有很多的數(shù)學(xué)模型，如果能引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和尋找，將會(huì)提高他們分析數(shù)學(xué)問題的能力，體會(huì)到數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實(shí)價(jià)值.立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，而圖形的位置關(guān)系又是部分空間想象能力較差的學(xué)生的難點(diǎn).為了將抽象的位置關(guān)系具體化，在實(shí)際的教學(xué)過程中我不斷地鼓勵(lì)和激發(fā)學(xué)生尋找身邊的線面、面面的位置關(guān)系，并且很多例子在教室或?qū)W校里就能夠找到.比如在學(xué)習(xí)直線與平面垂直這一節(jié)時(shí)，我首先請同學(xué)們觀察學(xué)校操場上的旗桿與地面的位置關(guān)系，隨后讓同學(xué)們分析旗桿與操場內(nèi)的線的位置關(guān)系，在此基礎(chǔ)上得到了定義.這樣的課堂設(shè)計(jì)既能使學(xué)生直觀地認(rèn)識到了直線和平面垂直的這種位置關(guān)系，減輕學(xué)生對陌生概念的生疏感，并且可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而樂意去尋找身邊的數(shù)學(xué)，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的直線和平面垂直的判定和性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

二、構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型

在實(shí)際的教學(xué)過程中，有一些數(shù)學(xué)模型因?yàn)闀r(shí)間或空間等方面的因素?zé)o法在教室里展示，但學(xué)生很容易通過聯(lián)想得到，也可以在課堂教學(xué)過程中加以運(yùn)用.比如在講解“當(dāng)表面積相等時(shí)，比較正方體，球的體積大小”時(shí)，我構(gòu)造了“充氣球”的情境，即用不能伸縮的材料做成正方體形和球形的氣球，他們的面積相等，現(xiàn)在再充氣，哪個(gè)還能繼續(xù)充氣，進(jìn)而讓同學(xué)們分析正方體形氣球在充氣過程中的變化規(guī)律，進(jìn)一步讓同學(xué)們思考這樣一個(gè)問題：當(dāng)表面積相等時(shí)，比較正四面體、正方體、球的體積大小.依照剛才構(gòu)造的模型，這個(gè)問題也很容易解決.通過這樣的數(shù)學(xué)模型，將本來要經(jīng)過的繁瑣計(jì)算才能得到的結(jié)論很直觀地就得到了.學(xué)生就會(huì)覺得即使是枯燥的數(shù)學(xué)問題只要能夠科學(xué)地構(gòu)造模型，也會(huì)變得生動(dòng)和形象，使學(xué)生感受到其實(shí)數(shù)學(xué)就在自己的生活中，從而增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的信心和研究數(shù)學(xué)問題的興趣.

三、生活中的數(shù)學(xué)模型

在生活中也存在這樣一些數(shù)學(xué)模型，在實(shí)際的教學(xué)過程中如果能夠合理地運(yùn)用這些模型，不但能降低枯燥的推理和證明的理解難度，而且會(huì)增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)同感.在講授錐體的體積公式時(shí)可以安排了這樣一個(gè)試驗(yàn)：分別到實(shí)驗(yàn)室找兩個(gè)底面積和高都相等的圓柱形和圓錐形量筒，先把圓錐形量筒里裝滿水，然后在把圓錐形量筒里的水全部倒入圓錐形量筒里.通過觀察圓柱形量筒里水的高度就可以發(fā)現(xiàn)水只有量筒高的三分之一，由此就可以得到當(dāng)圓錐和圓柱的底面積和高都相等時(shí)，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一，進(jìn)而可以推廣到所有的錐體上.其實(shí)只要我們留心去觀察發(fā)現(xiàn)，在生活中有很多的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)過程中合理地加以運(yùn)用，一定會(huì)起到事半功倍的效果.

四、實(shí)踐中的數(shù)學(xué)模型

很多抽象的數(shù)學(xué)問題在現(xiàn)實(shí)生活中都有具體的數(shù)學(xué)模型，在講授該部分的知識時(shí)可以結(jié)合具體的模型來解釋.這樣不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生對該問題的認(rèn)識更加具體，而且有利于提高學(xué)生對該類問題的分析和解決能力.如：教學(xué)《二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值》時(shí)可設(shè)計(jì)這樣兩個(gè)對應(yīng)的實(shí)際情景：豎直放置一把撐開的雨傘和一個(gè)碗.當(dāng)水珠從雨傘上向下滑落時(shí)，水珠會(huì)離雨傘中央越來越遠(yuǎn)；當(dāng)水珠從碗口向下滑落時(shí)，水珠會(huì)離碗中央越來越近.水珠在向下滑，也就類似于它所代表的函數(shù)值在變小，而撐開的雨傘類似于開口向下的拋物線，碗則類似于開口向上的拋物線，那么就可以類似地得到這樣一組結(jié)論：若拋物線的開口向下，則離對稱軸越遠(yuǎn)值越?。蝗魭佄锞€的開口向上，則離對稱軸越近值越小.這樣，同學(xué)們就很容易理解并記住這個(gè)結(jié)論，而依照這個(gè)結(jié)論在判斷二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值時(shí)只要判斷定義域內(nèi)的值與對稱軸的遠(yuǎn)近關(guān)系就可以了.通過這樣的模型就把一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)實(shí)際問題，從而更有利于學(xué)生去理解并掌握一些基本的數(shù)學(xué)結(jié)論.

五、典故中的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)中的邏輯推理很難找到具體的現(xiàn)實(shí)模型，而一些歷史上的趣聞軼事恰恰包含了相同的邏輯關(guān)系.比如在講解《含有量詞命題的否定》時(shí)我在課堂上就講述了歷史上的這個(gè)軼事：相傳當(dāng)年有人曾在報(bào)刊上發(fā)表“國民政府中有些人是混蛋”，國民政府就責(zé)令其改正，然后就改成了“國民政府中有些人不是混蛋”.學(xué)生聽了以后哄堂大笑，接著我就讓學(xué)生分析這句話中所含有的量詞、如何否定掉這句話.最后在理解的基礎(chǔ)上給出含有量詞命題否定的方法.通過這個(gè)趣事不僅活躍了課堂氣氛，而且能夠加深學(xué)生對這種問題的印象，即使以后對含有量詞命題否定的方法忘記了，也可以通過這個(gè)故事來推導(dǎo)相應(yīng)的結(jié)論.

總之，在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，只有充分挖掘數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題間建立起聯(lián)系并了解數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的作用，不但能夠使學(xué)生更加牢靠地掌握數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法，從而奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而且能夠提高課堂教學(xué)的效率、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)也能使數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動(dòng)和精彩！