從一道數學高考題談結論的推廣

侯飛建

考題 （2012江蘇·19） 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（i）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

本文將該題第3問的結論推廣到一般的橢圓和雙曲線.

命題一 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.則PF1+PF2是定值2a-b2a2.

證明 延長線段AF1交橢圓于點D.

設直線AD的方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入橢圓方程并整理得： （b2cos2α+a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α ，t1t2=b2c2-a2b2b2cos2α+a2sin2α=-b4b2cos2α+a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|-b4b2cos2α+a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α）2+4b4b2cosα+a2sin2α

=

b22c2cos2α+b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以

PF1PB=AF1BF2.由B點在橢圓上知PB+PF1+PF2=2a，從而PF12a-PF1-PF2=PF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）=2a-2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a-b2a.

命題二 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是雙曲線上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P，則PF1+PF2是定值2a+b2a.

證明 延長線段AF1交雙曲線于點D.

設直線AD方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入雙曲線方程并整理得：

（b2cos2α-a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cosα-a2sin2α，t1t2=

b2c2-a2b2b2cos2α-a2sin2α=b4b2cos2α-a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=

|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|b4b2cos2α-a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α-a2sin2α）2-4b4b2cosα-a2sin2α

=

b22c2cos2α-b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以PF1PB=AF1BF2.由B點在雙曲線上知PB+PF1-BF2=2a，從而

PF12a-PF1+BF2=AF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a+BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a+AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a+BF2）+BF2AF1+BF2（2a+AF1）=2a+2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a+b2a.

考題 （2012江蘇·19） 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（i）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

本文將該題第3問的結論推廣到一般的橢圓和雙曲線.

命題一 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.則PF1+PF2是定值2a-b2a2.

證明 延長線段AF1交橢圓于點D.

設直線AD的方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入橢圓方程并整理得： （b2cos2α+a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α ，t1t2=b2c2-a2b2b2cos2α+a2sin2α=-b4b2cos2α+a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|-b4b2cos2α+a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α）2+4b4b2cosα+a2sin2α

=

b22c2cos2α+b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以

PF1PB=AF1BF2.由B點在橢圓上知PB+PF1+PF2=2a，從而PF12a-PF1-PF2=PF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）=2a-2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a-b2a.

命題二 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是雙曲線上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P，則PF1+PF2是定值2a+b2a.

證明 延長線段AF1交雙曲線于點D.

設直線AD方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入雙曲線方程并整理得：

（b2cos2α-a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cosα-a2sin2α，t1t2=

b2c2-a2b2b2cos2α-a2sin2α=b4b2cos2α-a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=

|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|b4b2cos2α-a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α-a2sin2α）2-4b4b2cosα-a2sin2α

=

b22c2cos2α-b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以PF1PB=AF1BF2.由B點在雙曲線上知PB+PF1-BF2=2a，從而

PF12a-PF1+BF2=AF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a+BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a+AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a+BF2）+BF2AF1+BF2（2a+AF1）=2a+2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a+b2a.

考題 （2012江蘇·19） 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和（e，32）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

（i）若AF1-BF2=62，求直線AF1的斜率；

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

本文將該題第3問的結論推廣到一般的橢圓和雙曲線.

命題一 如圖2，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.則PF1+PF2是定值2a-b2a2.

證明 延長線段AF1交橢圓于點D.

設直線AD的方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入橢圓方程并整理得： （b2cos2α+a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α ，t1t2=b2c2-a2b2b2cos2α+a2sin2α=-b4b2cos2α+a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|-b4b2cos2α+a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α+a2sin2α）2+4b4b2cosα+a2sin2α

=

b22c2cos2α+b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以

PF1PB=AF1BF2.由B點在橢圓上知PB+PF1+PF2=2a，從而PF12a-PF1-PF2=PF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a-BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a-AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a-BF2）+BF2AF1+BF2（2a-AF1）=2a-2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a-b2a.

命題二 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），設A，B是雙曲線上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P，則PF1+PF2是定值2a+b2a.

證明 延長線段AF1交雙曲線于點D.

設直線AD方程為：x=-c+tcosα，

y=tsinα（t為參數，α為直線的傾斜角）.

將直線方程代入雙曲線方程并整理得：

（b2cos2α-a2sin2α）t2-（2cb2cosα）t+b2c2-a2b2=0.

設方程兩根為t1，t2.

則t1+t2=2cb2cosαb2cosα-a2sin2α，t1t2=

b2c2-a2b2b2cos2α-a2sin2α=b4b2cos2α-a2sin2α.

AF1·DF1AF1+DF1=

|t1||t2||t1-t2|=|t1t2|（t1+t2）2-4t1t2

=|b4b2cos2α-a2sin2α|（2cb2cosαb2cos2α-a2sin2α）2-4b4b2cosα-a2sin2α

=

b22c2cos2α-b2cos2α+a2sin2α=b22a.

因為直線AF1與BF2平行，所以PF1PB=AF1BF2.由B點在雙曲線上知PB+PF1-BF2=2a，從而

PF12a-PF1+BF2=AF1BF2，所以有PF1=AF1AF1+BF2（2a+BF2）.同理PF2=BF2AF1+BF2（2a+AF1）.因此PF1+PF2=AF1AF1+BF2（2a+BF2）+BF2AF1+BF2（2a+AF1）=2a+2AF1·BF2AF1+BF2.

由直線AD與BF2平行和橢圓的對稱性可知DF1=BF2.

所以PF1+PF2=2a-2AF1·DF1AF1+DF1=2a+b2a.