力學矢量計算

蘇斌

平行四邊形定則是一切矢量運算的普適定則，利用平行四邊形定則解題，確定平行四邊形是最關鍵的一步.如果平行四邊形四個頂 點中有三個確定，這個平行四邊形就是唯一確定的.例如求F1和F2的合力，如圖1所示，因為A、B、O三點是確定的，利用平行四邊形的性質，可以畫出平行四邊形，求出合力F，但我們所遇到的許多題目中，能確定的只有兩個點，這樣確定第三個點就至關重要了.

一、在矢量的合成與分解中的應用

這類題目因有一矢量大小和方向已知，因此平行四邊行中有兩點是確定的，第三點有條件控制.

例1 分解一個力，若已知它的一個分力F1的大小和另一個分力F2的方向，以下論述中正確的是（ ）.

A.只有唯一的解 B.一定有兩解

C.可能有無數解 D.可能有兩組解

解析 如圖2所示，合力已知，即A、B兩點確定，第三點C由兩個條件控制F1的大小和F2的方向.C與A的連線為F2，因此C點一定在虛線上，C與B的連線長表示F1的大小，滿足這個條件的C點在以B為圓心，表示F1的線段長為半徑的圓上，兩個條件都滿足的C點是圓和虛線的交點，因為圓與虛線分別有0、1、2個交點，也就無解，一解和兩解三種情況，則選項D正確.

例2 用兩根輕繩將質量為m的物塊懸掛在空中，如圖3所示，已知繩oc和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，則oc繩和bc繩中的拉力分別為多大？

解析 如圖 4所示，兩繩拉力等于重力沿繩子方向的分力，因重力已知，則平行四邊形中A、B兩點確定，第三點由兩分力的方向確定，因此過B點做射線AE的平行線與射線AC的交點D即為所求第三點，然后利用平行四邊形對邊平行做出平行四邊形.由幾何關系有：

Foc=mgcos30°=32mg

Fbc=mgcos60°=12mg

二、在利用矢量三角形解動態平衡問題中的應用.

矢量三角形為平行四邊形的一半，因此矢量三角形來源于平行四邊形.判斷處于動態平穩問題中各個力的變化，通常采用矢量三角形圖解求 解.這類問題中的第三點是在條件的控制下移動.

1.三力中有一力大小和方向確定，另一力的大小或方向確定.

例3 如圖5所示，小球用細繩系住放在傾角為 的 光滑斜面上，當細繩由水平方向逐漸向上偏移時，細繩上的拉力如和變化？

解析 物體在三個力的作用下保持平衡，重力G的大小，方向不變，支持力FN的方向不變，FT的方向改變，則FN和FT的合力F不變.如圖6所示，Oa表示合力F，第三點在射線ac上，起始位置為b，線段ab表示FN，線段ob表示FT，當A向上偏移時，b沿ac向上偏移.由此可知細繩拉力FT先減小后增大.

例4 如圖7所示，小球質量m，用一細線懸掛，現用一大小恒定的外力F（F

解析 小球在重力、細線的拉力和外力F作用下保持平衡，其中重力G大小、方向保持不變，外力大小不變，則外力F和拉力FT的合力F合保持不變，如圖8所示，矢量三角形中A、B兩點確定，第三點與A的連線表示外力F.因此第三點在以A為圓心，表示外力F大小的線段為半徑的圓上，BC連線即為細繩拉力，由圖8可知，BC與AB的夾角最大為α=sin-1FG.

2.三個力中有一個力大小和方向確定，另二力變化有規律.

例5 如圖9所示，有一小球用一細線掛靠在光滑半球上，細線上端通過一個定滑輪，當用力將小球緩慢往上拉的過程中，分析小球所受的各個力的變化.

解析 小球所受的三個力 的合力為零，其中重力的大小、方向不變，因此支持力FN和繩的拉力FT的合力F合不變.如圖10所示，矢量三角形中MN兩點確定，因為矢量三角形△EMN與幾何三角形 AOB相似，因此第三點E的變化與幾何三角形中的B點一樣，E點在以M點為圓心，表示FN的線段ME長度為半徑的圓上移動，即FN不變，FT減小.

例6 用等長的細線OA、OB 懸掛一重物，A、B固定在金屬半圓ABC上，開始時OA繩水平，現保持重物位置不變，轉動金屬框架，使OA、OB同時順時針轉過90°，則在此轉動過程中，OA繩拉力如何變化？

解析 重力，兩繩拉力合力為零，因FA、FB的合力恒定，即M、N兩點確定，如圖11所示，因為FA、FB的夾角保持不變，因此第三個點C在圓上順時針轉動，比照圖形的幾何性質，當MC增大到成為一條直徑后再逐漸減小，因此OA繩的拉力先增大后減小.

三、正交分解法在力學中的應用

正交分解法的三個步驟：

第一步，立正交 x、y坐標，這是最重要的一步，x、y坐標的設立，并不一定是水平與豎直方向，可根據問題方便來設定方向，不過x與y的方向一定是相互垂直而正交.

第二步，將題目所給定跟要求的各矢量沿x、y方向分解，求出各分量，凡跟x、y軸方向一致的為正；凡與x、y軸反向為負；凡跟軸垂直的矢量，該矢量在該軸上的分量為0，這是關鍵的一步.

第三步，根據在各軸方向上的運動狀態列方程，這樣就把矢量運算轉化為標量運算；若各時刻運動狀態不同，應根據各時間區間的狀態，分階段列方程.這是此法的核心一步.

第四步，根據各x、y軸的分量，求出該矢量的大小，一定

要標明方向，這是最終的一步.

求物體所受外力的合力或解物體的平衡問題時，常采用正交分解法.所謂“正交分解法”就是將受力物體所受外力（限同一平面內的共點力）沿選定的相互垂直的x軸和y軸方向分解，然后分別求出x軸方向、y方向的合力ΣFx、ΣFy，由于ΣFx、ΣFy相互垂直，可方便的求出物體所受外力的合力ΣF（大小和方向）

例7 300N的重物在與水平地面成37°角的斜向上的100N的拉力作用下，沿水平地面向右做直線運動，若重物與地面間的動摩擦因數為0.25，求重物受到的外力的合力.

解 采用圖12所示的坐標系（如此選擇，物體受到的四個力中只有拉力F不與坐標軸重合），重物受力如圖2所示，因物體沿水平方向做直線運動，應有

Fsin37°+FN-G=0

所以地面支持力

FN=G-Fsin37°=300N-100×sin37°N=240N

所以合力∑F=cos37°-f=Fcos37°-μFN=100×0.8N-0.25×240N=20N

此合力ΣF的方向沿x軸正方向，即運動方向.

運用正交分解法解平衡問題時，根據平衡條件F合=0，應有ΣFx=0，ΣFy=0，這是解平衡問題的必要和充分條件，由此方程組可求出兩個未知數.

例8 重100N光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和與斜面垂直的擋板間，

求斜面和擋板對球的支持力F1， F2.

解 選定如圖13所示的坐標系，重球受力如圖13所示.由于球靜止，所以有

F1-Gcos37°=0

F2-Gsin37°=0

F1=Gcos37°=100×0.8N=80N

F2=Gsin37°=100×0.6N=60N

在某些情況下，有時也可以用“斜交分解法”解平衡問題，這樣反會更方便，所謂“斜交”就是所選的x軸與y軸不垂直，這時的平衡條件仍為ΣFx=0、ΣFy=0.

例9 重100 N的光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和豎直擋板間，求斜面和豎直擋板對球的支持力F1和壓力F2.

分析 此題若仍采用例3所選取的坐標系，則需將重力G和豎直擋板對球的壓力N進行正交分解，如圖14所示.則由方程組

F2cos37°-Gsin37°=0

F1-F2sin37°-Gcos37°=0

可求出F1、F2，但此法較麻煩.而用斜交分解就顯得方便.具體做法如下.

解 選定如圖15所示的斜交坐標系.球受力如圖所示.

由于球靜止，則有F1-Gcos37°=0

F2-Gtan37°=0

所以F1=Gcos37°=1000.8N=125 N

F2=Gtg37°=100×0.75

N=75 N

當然，此題若根據F1與F2的合力與重力G的平衡關系求解也較方便.此題的做法說明：將力如何分解要根據解題的需要，要指出的是，求非平衡共點力的合力時不宜采用斜交分解，因為此時ΣFx與ΣFy已不垂直，會給求合力帶來不便.

解 采用圖12所示的坐標系（如此選擇，物體受到的四個力中只有拉力F不與坐標軸重合），重物受力如圖2所示，因物體沿水平方向做直線運動，應有

Fsin37°+FN-G=0

所以地面支持力

FN=G-Fsin37°=300N-100×sin37°N=240N

所以合力∑F=cos37°-f=Fcos37°-μFN=100×0.8N-0.25×240N=20N

此合力ΣF的方向沿x軸正方向，即運動方向.

運用正交分解法解平衡問題時，根據平衡條件F合=0，應有ΣFx=0，ΣFy=0，這是解平衡問題的必要和充分條件，由此方程組可求出兩個未知數.

例8 重100N光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和與斜面垂直的擋板間，

求斜面和擋板對球的支持力F1， F2.

解 選定如圖13所示的坐標系，重球受力如圖13所示.由于球靜止，所以有

F1-Gcos37°=0

F2-Gsin37°=0

F1=Gcos37°=100×0.8N=80N

F2=Gsin37°=100×0.6N=60N

在某些情況下，有時也可以用“斜交分解法”解平衡問題，這樣反會更方便，所謂“斜交”就是所選的x軸與y軸不垂直，這時的平衡條件仍為ΣFx=0、ΣFy=0.

例9 重100 N的光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和豎直擋板間，求斜面和豎直擋板對球的支持力F1和壓力F2.

分析 此題若仍采用例3所選取的坐標系，則需將重力G和豎直擋板對球的壓力N進行正交分解，如圖14所示.則由方程組

F2cos37°-Gsin37°=0

F1-F2sin37°-Gcos37°=0

可求出F1、F2，但此法較麻煩.而用斜交分解就顯得方便.具體做法如下.

解 選定如圖15所示的斜交坐標系.球受力如圖所示.

由于球靜止，則有F1-Gcos37°=0

F2-Gtan37°=0

所以F1=Gcos37°=1000.8N=125 N

F2=Gtg37°=100×0.75

N=75 N

當然，此題若根據F1與F2的合力與重力G的平衡關系求解也較方便.此題的做法說明：將力如何分解要根據解題的需要，要指出的是，求非平衡共點力的合力時不宜采用斜交分解，因為此時ΣFx與ΣFy已不垂直，會給求合力帶來不便.

解 采用圖12所示的坐標系（如此選擇，物體受到的四個力中只有拉力F不與坐標軸重合），重物受力如圖2所示，因物體沿水平方向做直線運動，應有

Fsin37°+FN-G=0

所以地面支持力

FN=G-Fsin37°=300N-100×sin37°N=240N

所以合力∑F=cos37°-f=Fcos37°-μFN=100×0.8N-0.25×240N=20N

此合力ΣF的方向沿x軸正方向，即運動方向.

運用正交分解法解平衡問題時，根據平衡條件F合=0，應有ΣFx=0，ΣFy=0，這是解平衡問題的必要和充分條件，由此方程組可求出兩個未知數.

例8 重100N光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和與斜面垂直的擋板間，

求斜面和擋板對球的支持力F1， F2.

解 選定如圖13所示的坐標系，重球受力如圖13所示.由于球靜止，所以有

F1-Gcos37°=0

F2-Gsin37°=0

F1=Gcos37°=100×0.8N=80N

F2=Gsin37°=100×0.6N=60N

在某些情況下，有時也可以用“斜交分解法”解平衡問題，這樣反會更方便，所謂“斜交”就是所選的x軸與y軸不垂直，這時的平衡條件仍為ΣFx=0、ΣFy=0.

例9 重100 N的光滑勻質球靜止在傾角為37°的斜面和豎直擋板間，求斜面和豎直擋板對球的支持力F1和壓力F2.

分析 此題若仍采用例3所選取的坐標系，則需將重力G和豎直擋板對球的壓力N進行正交分解，如圖14所示.則由方程組

F2cos37°-Gsin37°=0

F1-F2sin37°-Gcos37°=0

可求出F1、F2，但此法較麻煩.而用斜交分解就顯得方便.具體做法如下.

解 選定如圖15所示的斜交坐標系.球受力如圖所示.

由于球靜止，則有F1-Gcos37°=0

F2-Gtan37°=0

所以F1=Gcos37°=1000.8N=125 N

F2=Gtg37°=100×0.75

N=75 N

當然，此題若根據F1與F2的合力與重力G的平衡關系求解也較方便.此題的做法說明：將力如何分解要根據解題的需要，要指出的是，求非平衡共點力的合力時不宜采用斜交分解，因為此時ΣFx與ΣFy已不垂直，會給求合力帶來不便.