指數函數與冪函數圖象的交點的探究性學習

鄒云

高三總復習已進行了一段時間.一天，我在做練習時遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數的圖象（ ）

A. 沒有交點 B.有且只一個交點

C.有且只有兩個交點 D.至多有兩個交點

我思考：根據反函數的性質，若a>y，y=ax與其反函數的圖象有交點，交點個數少于3個，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點，且它們的交點相同.試著解方程ax=x，結果無從下手；又試著畫函數圖象，還是一籌莫展.請教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發現它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點，也可以有兩個交點，那么當a取某個特殊值時，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個交點，這個值是多少呢？這個問題引起了我強烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個交點，求a的值.

解 設y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當a=e1/e時，有唯一交點，當1e1/e時沒有交點.

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個交點，求a的值.

分析 設y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個方程.能否換一個思路呢？

解 當x>0時，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們在y軸右邊應當有唯一交點.設唯一交點為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當a=e2/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1e2/e時在y軸右邊沒有交點.

3.一般情況呢？猜想：當a=en/e時，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個交點.

解 當x>0時，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設它們在y軸右邊的唯一交點為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當a=en/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1en/e時在y軸右邊沒有交點.

綜上，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象的交點情況如下：

n是奇數時：（y軸左邊沒有交點）

當1

當a=en/e時，有一個交點；

當a>en/e時，沒有交點.

n是偶數時：（y軸左邊一定有一個交點）

當1

當a=en/e時，有兩個交點；

當a>en/e時，有一個交點.

總復習時，有好多同學陷在知識與題海中，只見樹木，不見森林，被動復習，疲于應付，體會不到數學學習的樂趣，復習效果不好.讀數學書與讀文學書一樣，既要讀進去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動思考，探究學習.探究性學習可以提高復習效率，改善所掌握知識的質量，培養數學思維能力和創新能力，體驗數學成功，提高決勝高考的把握.

他的手機收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補課，學生在這時會非常感動的，真的會大大提高學生的學習動力的.其實學生的學習除了老師的教育外，也非常需要一個良好的家庭環境.仔細觀察每年班里的問題學生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個女生，在做10道填空題時錯了8題，上課時總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學習了.于是我就又和她講，讓她重新恢復了學習的動力.我覺得學校與家庭都應該給學生一個好的學習環境，讓學生沒有學習的后顧之憂，這樣學生才能認真的學習，這就要求我們教師要關心好學生課堂外的時間，去真正地了解學生.

作為數學教師我深深地體會到，無論我們面對怎樣基礎的學生，我們都應該動足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學生的學習動力，學生只要有了學習的動力，學習肯定會上去的.

高三總復習已進行了一段時間.一天，我在做練習時遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數的圖象（ ）

A. 沒有交點 B.有且只一個交點

C.有且只有兩個交點 D.至多有兩個交點

我思考：根據反函數的性質，若a>y，y=ax與其反函數的圖象有交點，交點個數少于3個，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點，且它們的交點相同.試著解方程ax=x，結果無從下手；又試著畫函數圖象，還是一籌莫展.請教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發現它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點，也可以有兩個交點，那么當a取某個特殊值時，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個交點，這個值是多少呢？這個問題引起了我強烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個交點，求a的值.

解 設y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當a=e1/e時，有唯一交點，當1e1/e時沒有交點.

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個交點，求a的值.

分析 設y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個方程.能否換一個思路呢？

解 當x>0時，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們在y軸右邊應當有唯一交點.設唯一交點為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當a=e2/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1e2/e時在y軸右邊沒有交點.

3.一般情況呢？猜想：當a=en/e時，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個交點.

解 當x>0時，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設它們在y軸右邊的唯一交點為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當a=en/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1en/e時在y軸右邊沒有交點.

綜上，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象的交點情況如下：

n是奇數時：（y軸左邊沒有交點）

當1

當a=en/e時，有一個交點；

當a>en/e時，沒有交點.

n是偶數時：（y軸左邊一定有一個交點）

當1

當a=en/e時，有兩個交點；

當a>en/e時，有一個交點.

總復習時，有好多同學陷在知識與題海中，只見樹木，不見森林，被動復習，疲于應付，體會不到數學學習的樂趣，復習效果不好.讀數學書與讀文學書一樣，既要讀進去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動思考，探究學習.探究性學習可以提高復習效率，改善所掌握知識的質量，培養數學思維能力和創新能力，體驗數學成功，提高決勝高考的把握.

他的手機收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補課，學生在這時會非常感動的，真的會大大提高學生的學習動力的.其實學生的學習除了老師的教育外，也非常需要一個良好的家庭環境.仔細觀察每年班里的問題學生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個女生，在做10道填空題時錯了8題，上課時總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學習了.于是我就又和她講，讓她重新恢復了學習的動力.我覺得學校與家庭都應該給學生一個好的學習環境，讓學生沒有學習的后顧之憂，這樣學生才能認真的學習，這就要求我們教師要關心好學生課堂外的時間，去真正地了解學生.

作為數學教師我深深地體會到，無論我們面對怎樣基礎的學生，我們都應該動足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學生的學習動力，學生只要有了學習的動力，學習肯定會上去的.

高三總復習已進行了一段時間.一天，我在做練習時遇到下題：

a>1，y=a2與其反函數的圖象（ ）

A. 沒有交點 B.有且只一個交點

C.有且只有兩個交點 D.至多有兩個交點

我思考：根據反函數的性質，若a>y，y=ax與其反函數的圖象有交點，交點個數少于3個，則a>1，y=ax的圖象與直線y=x必有交點，且它們的交點相同.試著解方程ax=x，結果無從下手；又試著畫函數圖象，還是一籌莫展.請教老師，老師提示：取特殊值試試！于是我試著取a=2，y=2x， 的圖象全在直線y=x的上方，再取a=1.1，發現它們的圖象相交了！上題選（D）無疑.

高興之余，我的思考沒有止步.因a（a>1）取不同值時，y=ax的圖象與直線y=x可以沒有交點，也可以有兩個交點，那么當a取某個特殊值時，y=ax的圖象與直線y=x必然只有一個交點，這個值是多少呢？這個問題引起了我強烈的探究欲望.于是開始了下面的探究之旅.

1.y=ax（a>1）的圖象與直線y=x有且只有一個交點，求a的值.

解 設y=ax（a>1）的圖象與直線y=x的唯一交點為A（t，at），

則y′|x=t=atlna，于是

atlna=1，

at=t.（1）

（2）

由（1）得：t=loga1lna，

代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與直線y=x，當a=e1/e時，有唯一交點，當1e1/e時沒有交點.

2.我又想，把直線y=x改成拋物線y=x2情況又如何呢？于是又有了下面的問題：

y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊有且只有一個交點，求a的值.

分析 設y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2在y軸的右邊的交點為A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率無法再列出第二個方程.能否換一個思路呢？

解 當x>0時，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它們在y軸右邊應當有唯一交點.設唯一交點為

A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=x2，當a=e2/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1e2/e時在y軸右邊沒有交點.

3.一般情況呢？猜想：當a=en/e時，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象在y軸右邊有且只有一個交點.

解 當x>0時，ax=xnlogax=

1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，設它們在y軸右邊的唯一交點為A（t，at），則：

f ′（t）=1tlna=1n，

logat=1nt.（1）

（2）

由（1）得t=ntlna，

代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.

∴y=ax（a>1）的圖象與拋物線y=xn，當a=en/e時，在y軸右邊有唯一交點，當1en/e時在y軸右邊沒有交點.

綜上，y=ax（a>1）與冪函數y=xn（n∈N*）的圖象的交點情況如下：

n是奇數時：（y軸左邊沒有交點）

當1

當a=en/e時，有一個交點；

當a>en/e時，沒有交點.

n是偶數時：（y軸左邊一定有一個交點）

當1

當a=en/e時，有兩個交點；

當a>en/e時，有一個交點.

總復習時，有好多同學陷在知識與題海中，只見樹木，不見森林，被動復習，疲于應付，體會不到數學學習的樂趣，復習效果不好.讀數學書與讀文學書一樣，既要讀進去，又要讀出來.這讀出來的訣巧就是主動思考，探究學習.探究性學習可以提高復習效率，改善所掌握知識的質量，培養數學思維能力和創新能力，體驗數學成功，提高決勝高考的把握.

他的手機收上來，然后再好好地給他們講道理，最有效的辦法是幫他們補課，學生在這時會非常感動的，真的會大大提高學生的學習動力的.其實學生的學習除了老師的教育外，也非常需要一個良好的家庭環境.仔細觀察每年班里的問題學生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前幾天我班上有一個女生，在做10道填空題時錯了8題，上課時總是心不在焉，通過了解原來是她的父親在前幾年病逝了，她母親再婚后，這幾天又在鬧離婚所以就沒心思學習了.于是我就又和她講，讓她重新恢復了學習的動力.我覺得學校與家庭都應該給學生一個好的學習環境，讓學生沒有學習的后顧之憂，這樣學生才能認真的學習，這就要求我們教師要關心好學生課堂外的時間，去真正地了解學生.

作為數學教師我深深地體會到，無論我們面對怎樣基礎的學生，我們都應該動足腦筋，充分挖掘各方面的因素，去提高學生的學習動力，學生只要有了學習的動力，學習肯定會上去的.