導數公式在高中數學中的應用

胡海燕

近年來高考考試大綱的考點，大部分試題與導數有著千絲萬縷的關系.從導數引申出來的考點比重逐漸上升，使得導數與函數、微積分、復合函數、反函數、隱函數之間的共通性愈加明顯，尤其是函數的導數和導函數，以及函數圖象與導數特性的融合，導數和函數的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導數公式在高中數學中的應用具有重要的實踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因為在物理學、幾何學、經濟學等學科中，一些重要概念都可以用導數來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關系可以看出它應用的身影.當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分.可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導，這甚至可以被認為高中與高等數學銜接中最基礎的定義.高中導數公式的應用過程，是讓學生感知瞬時變化率的過程.導數的概念和導數公式的應用，正是實現由初等函數正常推導的過程，是從中規范導數實踐教學的過程，也是深度理解和認識導數的過程.

一、用導數判斷函數的單調性

在平面直角坐標系中，導數代表的就是某條曲線在某一點處切線的斜率.判斷函數的單調性，就可以根據一點處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準確判斷出其單調遞增的特征.尤其是在簡單的一次函數中，當曲線斜率為正時，函數單調遞增，反之為負時就是單調遞增.

例1 求函數y=x3-3x+1的單調區間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當3x2-3=0，即x=±1時，y有極值=-1和3，

因為：x=2時，y（2）=3，x=1時，y（1）=-1， x=0時，y（0）=1，x=-1時，y（-1）=3，x=-2時，y（-2）=-1，

所以函數在（-∞，-1]單調遞增，在[-1，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增.

在求解單調函數的遞增性上，求解函數單調性，更可以顯示導數的價值.在實際應用中，還可以延伸出導函數“二次型單調性問題求解”.

二、用導數求曲線的切線

基本初等函數的導數由12個常用導數衍生出來，成為推導的依據.導數的幾何意義就是曲線在某點處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強調曲線上的點外，還體現函數在某點處可導的充分不必要條件.導數在數學中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應用價值就體現在函數在某點處可導，曲線在某點處一定存在切線，但是曲線在某點存在切線，卻未必可導的特性.

例2 函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設曲線y=f（x）在點P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據導數所體現的幾何意義來求解的.

三、用導數求三角函數

三角函數的導數關系、商數關系、平方關系、積化和差、雙曲函數等都可以在簡單的導數中發現事物的本質，進而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發，推導出復雜三角函數的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導數公式，推導出三角函數積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點.角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導數公式求周期函數

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數.

從函數周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當a=-1，0，1時f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數，若a≠0，a2≠1的情況.當f（x）以T為周期時，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數，必要性得證.從實際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.在實際應用中，利用導數求解導函數還可以擴大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實際上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.”

五、結束語

導數在數學中的應用價值，主要顯現為運用導數來求解曲線的切線、函數單調性、函數極值，不僅便捷還省時.高中數學導數公式集中反映了導數公式應用思想.導數是兩個無窮小變量比的極限，反映函數的變化率.導數的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現瞬時速度.在結合課改和高中生身心發展現狀時，要培養學生的辯證思想和掌握導數的變化趨勢，成為導數應用領域必須關注的大事.這對于應用導數公式解決高中生日常數學難題，具有積極的指導作用.

近年來高考考試大綱的考點，大部分試題與導數有著千絲萬縷的關系.從導數引申出來的考點比重逐漸上升，使得導數與函數、微積分、復合函數、反函數、隱函數之間的共通性愈加明顯，尤其是函數的導數和導函數，以及函數圖象與導數特性的融合，導數和函數的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導數公式在高中數學中的應用具有重要的實踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因為在物理學、幾何學、經濟學等學科中，一些重要概念都可以用導數來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關系可以看出它應用的身影.當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分.可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導，這甚至可以被認為高中與高等數學銜接中最基礎的定義.高中導數公式的應用過程，是讓學生感知瞬時變化率的過程.導數的概念和導數公式的應用，正是實現由初等函數正常推導的過程，是從中規范導數實踐教學的過程，也是深度理解和認識導數的過程.

一、用導數判斷函數的單調性

在平面直角坐標系中，導數代表的就是某條曲線在某一點處切線的斜率.判斷函數的單調性，就可以根據一點處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準確判斷出其單調遞增的特征.尤其是在簡單的一次函數中，當曲線斜率為正時，函數單調遞增，反之為負時就是單調遞增.

例1 求函數y=x3-3x+1的單調區間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當3x2-3=0，即x=±1時，y有極值=-1和3，

因為：x=2時，y（2）=3，x=1時，y（1）=-1， x=0時，y（0）=1，x=-1時，y（-1）=3，x=-2時，y（-2）=-1，

所以函數在（-∞，-1]單調遞增，在[-1，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增.

在求解單調函數的遞增性上，求解函數單調性，更可以顯示導數的價值.在實際應用中，還可以延伸出導函數“二次型單調性問題求解”.

二、用導數求曲線的切線

基本初等函數的導數由12個常用導數衍生出來，成為推導的依據.導數的幾何意義就是曲線在某點處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強調曲線上的點外，還體現函數在某點處可導的充分不必要條件.導數在數學中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應用價值就體現在函數在某點處可導，曲線在某點處一定存在切線，但是曲線在某點存在切線，卻未必可導的特性.

例2 函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設曲線y=f（x）在點P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據導數所體現的幾何意義來求解的.

三、用導數求三角函數

三角函數的導數關系、商數關系、平方關系、積化和差、雙曲函數等都可以在簡單的導數中發現事物的本質，進而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發，推導出復雜三角函數的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導數公式，推導出三角函數積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點.角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導數公式求周期函數

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數.

從函數周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當a=-1，0，1時f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數，若a≠0，a2≠1的情況.當f（x）以T為周期時，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數，必要性得證.從實際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.在實際應用中，利用導數求解導函數還可以擴大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實際上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.”

五、結束語

導數在數學中的應用價值，主要顯現為運用導數來求解曲線的切線、函數單調性、函數極值，不僅便捷還省時.高中數學導數公式集中反映了導數公式應用思想.導數是兩個無窮小變量比的極限，反映函數的變化率.導數的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現瞬時速度.在結合課改和高中生身心發展現狀時，要培養學生的辯證思想和掌握導數的變化趨勢，成為導數應用領域必須關注的大事.這對于應用導數公式解決高中生日常數學難題，具有積極的指導作用.

近年來高考考試大綱的考點，大部分試題與導數有著千絲萬縷的關系.從導數引申出來的考點比重逐漸上升，使得導數與函數、微積分、復合函數、反函數、隱函數之間的共通性愈加明顯，尤其是函數的導數和導函數，以及函數圖象與導數特性的融合，導數和函數的考試范疇逐漸加大.為此，本文研究導數公式在高中數學中的應用具有重要的實踐意義.

高中理科之間互相都有融合滲透，因為在物理學、幾何學、經濟學等學科中，一些重要概念都可以用導數來表示.從理科高三接觸的微積分來分析，顯示的自變量和變量之間的關系可以看出它應用的身影.當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限.在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分.可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導，這甚至可以被認為高中與高等數學銜接中最基礎的定義.高中導數公式的應用過程，是讓學生感知瞬時變化率的過程.導數的概念和導數公式的應用，正是實現由初等函數正常推導的過程，是從中規范導數實踐教學的過程，也是深度理解和認識導數的過程.

一、用導數判斷函數的單調性

在平面直角坐標系中，導數代表的就是某條曲線在某一點處切線的斜率.判斷函數的單調性，就可以根據一點處切線的斜率來判定，斜率都大于零，那么可以準確判斷出其單調遞增的特征.尤其是在簡單的一次函數中，當曲線斜率為正時，函數單調遞增，反之為負時就是單調遞增.

例1 求函數y=x3-3x+1的單調區間.

解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，當3x2-3=0，即x=±1時，y有極值=-1和3，

因為：x=2時，y（2）=3，x=1時，y（1）=-1， x=0時，y（0）=1，x=-1時，y（-1）=3，x=-2時，y（-2）=-1，

所以函數在（-∞，-1]單調遞增，在[-1，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增.

在求解單調函數的遞增性上，求解函數單調性，更可以顯示導數的價值.在實際應用中，還可以延伸出導函數“二次型單調性問題求解”.

二、用導數求曲線的切線

基本初等函數的導數由12個常用導數衍生出來，成為推導的依據.導數的幾何意義就是曲線在某點處的切線斜率，也就是常說的切線方程公式，除了強調曲線上的點外，還體現函數在某點處可導的充分不必要條件.導數在數學中解決的問題就是，以此助推求解曲線切線，其應用價值就體現在函數在某點處可導，曲線在某點處一定存在切線，但是曲線在某點存在切線，卻未必可導的特性.

例2 函數y=f（x）在點x0處的導數的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0， y=f（x0））處的切線的斜率.在求解中，設曲線y=f（x）在點P（x0，y）處的切線的斜率是f ′（x0），相應的切線方程為y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在該例題的切線方程求解中，就是根據導數所體現的幾何意義來求解的.

三、用導數求三角函數

三角函數的導數關系、商數關系、平方關系、積化和差、雙曲函數等都可以在簡單的導數中發現事物的本質，進而衍生出新的解題策略.從sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出發，推導出復雜三角函數的求解之法.

例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB導數公式，推導出三角函數積化和差，和差化積問題.

首先畫單位圓交x軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點.角AOD為α，BOD為β，旋轉AOB使OB與OD重合，形成新角A′OD.

A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），

OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）

∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出（換（a+b）/2與（a-b）/2）.

四、用導數公式求周期函數

例4 試求所有的a∈R，使得f（x）=

sinx+sinax為周期函數.

從函數周期定律f ′（x）為以T為周期的周期函數著手，且f（x）處處有定義，則f ′（x） 當a=-1，0，1時f（x）分別為0，sinx，2sinx，均為周期函數，若a≠0，a2≠1的情況.當f（x）以T為周期時，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也應以T為周期.

于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）對所有x∈R成立.

兩式相減，2a≠1，則sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m為有理數，必要性得證.從實際來看上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.在實際應用中，利用導數求解導函數還可以擴大為“不必讓f ′（x）處處有定義，實際上只要f（x）為以T為周期的周期函數，f ′（x）在其定義域內就是周期函數.”

五、結束語

導數在數學中的應用價值，主要顯現為運用導數來求解曲線的切線、函數單調性、函數極值，不僅便捷還省時.高中數學導數公式集中反映了導數公式應用思想.導數是兩個無窮小變量比的極限，反映函數的變化率.導數的幾何意義是曲線切線的斜率，在物理上體現瞬時速度.在結合課改和高中生身心發展現狀時，要培養學生的辯證思想和掌握導數的變化趨勢，成為導數應用領域必須關注的大事.這對于應用導數公式解決高中生日常數學難題，具有積極的指導作用.