高中數學習題解題技巧初探

李清華

數學相對于文史哲而言，更偏向與理性思維的應用.在高中學習階段，數學作為三項基礎學科之一，目的是為了培養學生的抽象思維能力.通常來說，數學教學由教師利用符號語言灌輸給學生空間、結構、模型等方面的概念，它借助語言闡述數量關系、結構關系和與數字相關的前后變化關系.數學作為一門相對抽象化的學科，是很多學生提高成績的障礙，而習題則為學生提供了提高數學成績的有效途徑.高中數學習題是數學教學中的重要一環，主要包括填空題、判斷題、證明題、選擇題等， 學生通過習題練習熟練掌握定理和概念，把抽象化的公式具象化，能夠更深入地掌握數學知識的應用.

雖然說數學習題的解答趨向于理性思維，必須利用題干中的信息和數學定理公式，在具有目的性的思維引導下解決.但同時，數學習題的解答需要學生發散思維，同時具備開放性和目的性.所謂解題的目的性是指了解題目的意思，抓住題目關鍵，辨認出條件與結論中的因果關系.而開放性則要求學生要看到題目中隱含條件中所蘊含的信息量，盡可能地從問題中獲取信息.解題思想只能作為引導，真正解決問題還需要在解題思想有目的地引導下，結合主體的認知結構，去探求解題的策略.高中習題的三大題型主要包括選擇題、填空題和解答題，不同的題型具有不同的特點，在解答中需要不同的解題技巧.

1.選擇題

選擇題是高中數學考試中的較基礎題型之一，分為多項選擇和單項選擇，一般是放在考查的第一部分，是考試重心，在習題練習中也占有較大比例.目前的高中數學選擇題傾向于單項選擇，表面看來降低了不少難度，但是選項中的相近答案極易給學生以誤導.通常來說，選擇題的知識覆蓋面較廣，思維具有跳躍性，題目由淺到深，是檢測學生觀察、分析以及推理判斷能力的有效手段.如何提高解答選擇題正確率，這就要求學生在練習中要充分利用題干中提供的各種信息，排除相似選項的干擾，一方面從題干出發，探求結果，另一方面結合選項，排除矛盾.我們可以采取排除法，概念分析法、圖形分析法和逆向思維法相結合，靈活運用各種定理概念，做到發散思維，提高解題時效率.如題：設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）等于（ ）.該題共有四個答案，分別是13、2、 132、213.我們可以通過這樣的步驟計算：（1）（x+2）=13f（x），f（x+4）=13f（x+2）=1313f（x）=f（x）.（2）函數f（x）為周期函數，且T=4，f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13f（1）=132.在這里，我們利用題干中的相關條件，運用函數的周期性這一概念，得到f（x）是周期為4的函數.周期性是解答此題的關鍵，我們可以利用直接法算出.

2.填空題

選擇題在考試中放在選擇題后，題量不大，難度相對較低，但是分值也不高，主要是為了考查學生的基本技能和學生的基礎能力.學生能夠利用基礎知識解決和分析問題，在填空題中就不會失去太多分數.填空題與選擇題的差別在于：首先，填空題沒有選項，在解答問題時缺乏提示，但是同時也排除了相似項的干擾；其次，填空題是在題干中抽出一部分內容由學生填補，結構簡單、概念性強；此外，填空題不要求寫出運算過程，是將結論直接填入空位中的求解題.一般來說，填空題的運算量都不算大，學生可以基本采用數形結合法、等價轉換法、構造法等，小題小做，提高正確率.如：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數列，則cosA+cosC1+cosAcosC=.解這道題有兩種方法，首先：我們可以通過取特殊值來計算，例如a=3，b=4，c=5，則cosA=45，cosC=0，cosA+cosC

1+cosAcosC=45；其次：利用角的特殊性，取特殊角A=B=C=π3，cosA=cosC=12，cosA+cosC

1+cosAcosC=45.這就要求我們要熟練掌握三角形的概念以及特殊三角形直接的關系，才能在習題練習中節省時間，順利解答.

3.解答題

解答題是高考數學考試中三大基本題型之一，作為壓軸部分放在最后，也是學生失分的主要部分.解答題不僅僅是簡單的知識綜合，它能夠較好地區分學生數學水平，是知識、能力和方法的綜合體現.《怎樣解題》一書中詳細論述了高中數學題解答題的解題程序、思維過程和解題順序.在習題中通過反復練習熟練掌握解題模式，有利于學生在考試中拿分.如已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*，滿足關系式2Sn=3an-3.設數列{bn}的通項公式是bn=1log3an·log3an+1，前n項和為Tn，求證：對于任意的正整數n，總有Tn<1.這是一道數列證明題，我們可以通過以下步驟解答：

證明：bn=1log3an·log3an+1=1log33n·log33n+1=1（n+1）n=1n-1n+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1<1.

我們可以這樣構建答題模板：首先，令n≥2，構造an=Sn-Sn-1，用an代換Sn-

Sn-1（或用Sn-Sn-1代換an，這要結合題目特點），由遞推關系求通項；其次，驗證當n=1時的結論適合當n≥2時的結論并寫出明確規范的答案；最后，我們需要反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規范.這道題容易忽略對n=1和n≥2分兩類進行討論，同時忽視結論中對二者的合并，抓住關鍵部分就可以順利解出答案.

綜上所述，數學知識作為人類文化的重要組成部分和高中學習階段的主要學科之一，能夠從各方面培養學生的創新能力.學生通過習題練習，有效掌握選擇題、填空題和解答題等題型的解題技巧，不僅有利于減少數學考試中的失分點，而且有利于學生思維能力的提高.進一步說，根據學科之間的關聯性，還有利于學生整體學習效率的提高.

數學相對于文史哲而言，更偏向與理性思維的應用.在高中學習階段，數學作為三項基礎學科之一，目的是為了培養學生的抽象思維能力.通常來說，數學教學由教師利用符號語言灌輸給學生空間、結構、模型等方面的概念，它借助語言闡述數量關系、結構關系和與數字相關的前后變化關系.數學作為一門相對抽象化的學科，是很多學生提高成績的障礙，而習題則為學生提供了提高數學成績的有效途徑.高中數學習題是數學教學中的重要一環，主要包括填空題、判斷題、證明題、選擇題等， 學生通過習題練習熟練掌握定理和概念，把抽象化的公式具象化，能夠更深入地掌握數學知識的應用.

雖然說數學習題的解答趨向于理性思維，必須利用題干中的信息和數學定理公式，在具有目的性的思維引導下解決.但同時，數學習題的解答需要學生發散思維，同時具備開放性和目的性.所謂解題的目的性是指了解題目的意思，抓住題目關鍵，辨認出條件與結論中的因果關系.而開放性則要求學生要看到題目中隱含條件中所蘊含的信息量，盡可能地從問題中獲取信息.解題思想只能作為引導，真正解決問題還需要在解題思想有目的地引導下，結合主體的認知結構，去探求解題的策略.高中習題的三大題型主要包括選擇題、填空題和解答題，不同的題型具有不同的特點，在解答中需要不同的解題技巧.

1.選擇題

選擇題是高中數學考試中的較基礎題型之一，分為多項選擇和單項選擇，一般是放在考查的第一部分，是考試重心，在習題練習中也占有較大比例.目前的高中數學選擇題傾向于單項選擇，表面看來降低了不少難度，但是選項中的相近答案極易給學生以誤導.通常來說，選擇題的知識覆蓋面較廣，思維具有跳躍性，題目由淺到深，是檢測學生觀察、分析以及推理判斷能力的有效手段.如何提高解答選擇題正確率，這就要求學生在練習中要充分利用題干中提供的各種信息，排除相似選項的干擾，一方面從題干出發，探求結果，另一方面結合選項，排除矛盾.我們可以采取排除法，概念分析法、圖形分析法和逆向思維法相結合，靈活運用各種定理概念，做到發散思維，提高解題時效率.如題：設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）等于（ ）.該題共有四個答案，分別是13、2、 132、213.我們可以通過這樣的步驟計算：（1）（x+2）=13f（x），f（x+4）=13f（x+2）=1313f（x）=f（x）.（2）函數f（x）為周期函數，且T=4，f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13f（1）=132.在這里，我們利用題干中的相關條件，運用函數的周期性這一概念，得到f（x）是周期為4的函數.周期性是解答此題的關鍵，我們可以利用直接法算出.

2.填空題

選擇題在考試中放在選擇題后，題量不大，難度相對較低，但是分值也不高，主要是為了考查學生的基本技能和學生的基礎能力.學生能夠利用基礎知識解決和分析問題，在填空題中就不會失去太多分數.填空題與選擇題的差別在于：首先，填空題沒有選項，在解答問題時缺乏提示，但是同時也排除了相似項的干擾；其次，填空題是在題干中抽出一部分內容由學生填補，結構簡單、概念性強；此外，填空題不要求寫出運算過程，是將結論直接填入空位中的求解題.一般來說，填空題的運算量都不算大，學生可以基本采用數形結合法、等價轉換法、構造法等，小題小做，提高正確率.如：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數列，則cosA+cosC1+cosAcosC=.解這道題有兩種方法，首先：我們可以通過取特殊值來計算，例如a=3，b=4，c=5，則cosA=45，cosC=0，cosA+cosC

1+cosAcosC=45；其次：利用角的特殊性，取特殊角A=B=C=π3，cosA=cosC=12，cosA+cosC

1+cosAcosC=45.這就要求我們要熟練掌握三角形的概念以及特殊三角形直接的關系，才能在習題練習中節省時間，順利解答.

3.解答題

解答題是高考數學考試中三大基本題型之一，作為壓軸部分放在最后，也是學生失分的主要部分.解答題不僅僅是簡單的知識綜合，它能夠較好地區分學生數學水平，是知識、能力和方法的綜合體現.《怎樣解題》一書中詳細論述了高中數學題解答題的解題程序、思維過程和解題順序.在習題中通過反復練習熟練掌握解題模式，有利于學生在考試中拿分.如已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*，滿足關系式2Sn=3an-3.設數列{bn}的通項公式是bn=1log3an·log3an+1，前n項和為Tn，求證：對于任意的正整數n，總有Tn<1.這是一道數列證明題，我們可以通過以下步驟解答：

證明：bn=1log3an·log3an+1=1log33n·log33n+1=1（n+1）n=1n-1n+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1<1.

我們可以這樣構建答題模板：首先，令n≥2，構造an=Sn-Sn-1，用an代換Sn-

Sn-1（或用Sn-Sn-1代換an，這要結合題目特點），由遞推關系求通項；其次，驗證當n=1時的結論適合當n≥2時的結論并寫出明確規范的答案；最后，我們需要反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規范.這道題容易忽略對n=1和n≥2分兩類進行討論，同時忽視結論中對二者的合并，抓住關鍵部分就可以順利解出答案.

綜上所述，數學知識作為人類文化的重要組成部分和高中學習階段的主要學科之一，能夠從各方面培養學生的創新能力.學生通過習題練習，有效掌握選擇題、填空題和解答題等題型的解題技巧，不僅有利于減少數學考試中的失分點，而且有利于學生思維能力的提高.進一步說，根據學科之間的關聯性，還有利于學生整體學習效率的提高.

數學相對于文史哲而言，更偏向與理性思維的應用.在高中學習階段，數學作為三項基礎學科之一，目的是為了培養學生的抽象思維能力.通常來說，數學教學由教師利用符號語言灌輸給學生空間、結構、模型等方面的概念，它借助語言闡述數量關系、結構關系和與數字相關的前后變化關系.數學作為一門相對抽象化的學科，是很多學生提高成績的障礙，而習題則為學生提供了提高數學成績的有效途徑.高中數學習題是數學教學中的重要一環，主要包括填空題、判斷題、證明題、選擇題等， 學生通過習題練習熟練掌握定理和概念，把抽象化的公式具象化，能夠更深入地掌握數學知識的應用.

雖然說數學習題的解答趨向于理性思維，必須利用題干中的信息和數學定理公式，在具有目的性的思維引導下解決.但同時，數學習題的解答需要學生發散思維，同時具備開放性和目的性.所謂解題的目的性是指了解題目的意思，抓住題目關鍵，辨認出條件與結論中的因果關系.而開放性則要求學生要看到題目中隱含條件中所蘊含的信息量，盡可能地從問題中獲取信息.解題思想只能作為引導，真正解決問題還需要在解題思想有目的地引導下，結合主體的認知結構，去探求解題的策略.高中習題的三大題型主要包括選擇題、填空題和解答題，不同的題型具有不同的特點，在解答中需要不同的解題技巧.

1.選擇題

選擇題是高中數學考試中的較基礎題型之一，分為多項選擇和單項選擇，一般是放在考查的第一部分，是考試重心，在習題練習中也占有較大比例.目前的高中數學選擇題傾向于單項選擇，表面看來降低了不少難度，但是選項中的相近答案極易給學生以誤導.通常來說，選擇題的知識覆蓋面較廣，思維具有跳躍性，題目由淺到深，是檢測學生觀察、分析以及推理判斷能力的有效手段.如何提高解答選擇題正確率，這就要求學生在練習中要充分利用題干中提供的各種信息，排除相似選項的干擾，一方面從題干出發，探求結果，另一方面結合選項，排除矛盾.我們可以采取排除法，概念分析法、圖形分析法和逆向思維法相結合，靈活運用各種定理概念，做到發散思維，提高解題時效率.如題：設定義在R上的函數f（x）滿足f（x）·f（x+2）=13，若f（1）=2，則f（99）等于（ ）.該題共有四個答案，分別是13、2、 132、213.我們可以通過這樣的步驟計算：（1）（x+2）=13f（x），f（x+4）=13f（x+2）=1313f（x）=f（x）.（2）函數f（x）為周期函數，且T=4，f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13f（1）=132.在這里，我們利用題干中的相關條件，運用函數的周期性這一概念，得到f（x）是周期為4的函數.周期性是解答此題的關鍵，我們可以利用直接法算出.

2.填空題

選擇題在考試中放在選擇題后，題量不大，難度相對較低，但是分值也不高，主要是為了考查學生的基本技能和學生的基礎能力.學生能夠利用基礎知識解決和分析問題，在填空題中就不會失去太多分數.填空題與選擇題的差別在于：首先，填空題沒有選項，在解答問題時缺乏提示，但是同時也排除了相似項的干擾；其次，填空題是在題干中抽出一部分內容由學生填補，結構簡單、概念性強；此外，填空題不要求寫出運算過程，是將結論直接填入空位中的求解題.一般來說，填空題的運算量都不算大，學生可以基本采用數形結合法、等價轉換法、構造法等，小題小做，提高正確率.如：在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，如果a、b、c成等差數列，則cosA+cosC1+cosAcosC=.解這道題有兩種方法，首先：我們可以通過取特殊值來計算，例如a=3，b=4，c=5，則cosA=45，cosC=0，cosA+cosC

1+cosAcosC=45；其次：利用角的特殊性，取特殊角A=B=C=π3，cosA=cosC=12，cosA+cosC

1+cosAcosC=45.這就要求我們要熟練掌握三角形的概念以及特殊三角形直接的關系，才能在習題練習中節省時間，順利解答.

3.解答題

解答題是高考數學考試中三大基本題型之一，作為壓軸部分放在最后，也是學生失分的主要部分.解答題不僅僅是簡單的知識綜合，它能夠較好地區分學生數學水平，是知識、能力和方法的綜合體現.《怎樣解題》一書中詳細論述了高中數學題解答題的解題程序、思維過程和解題順序.在習題中通過反復練習熟練掌握解題模式，有利于學生在考試中拿分.如已知數列{an}的各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任意的n∈N*，滿足關系式2Sn=3an-3.設數列{bn}的通項公式是bn=1log3an·log3an+1，前n項和為Tn，求證：對于任意的正整數n，總有Tn<1.這是一道數列證明題，我們可以通過以下步驟解答：

證明：bn=1log3an·log3an+1=1log33n·log33n+1=1（n+1）n=1n-1n+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn=（1-12）+（12-13）+…+（1n-1n+1）=1-1n+1<1.

我們可以這樣構建答題模板：首先，令n≥2，構造an=Sn-Sn-1，用an代換Sn-

Sn-1（或用Sn-Sn-1代換an，這要結合題目特點），由遞推關系求通項；其次，驗證當n=1時的結論適合當n≥2時的結論并寫出明確規范的答案；最后，我們需要反思回顧.查看關鍵點、易錯點及解題規范.這道題容易忽略對n=1和n≥2分兩類進行討論，同時忽視結論中對二者的合并，抓住關鍵部分就可以順利解出答案.

綜上所述，數學知識作為人類文化的重要組成部分和高中學習階段的主要學科之一，能夠從各方面培養學生的創新能力.學生通過習題練習，有效掌握選擇題、填空題和解答題等題型的解題技巧，不僅有利于減少數學考試中的失分點，而且有利于學生思維能力的提高.進一步說，根據學科之間的關聯性，還有利于學生整體學習效率的提高.